Cel mai bun răspuns
Da.
Se află în afara triunghiului.
H este ortocentrul \ Delta ABC.
De asemenea, rețineți că \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
Răspuns
Cum găsești circumcentrul și ortocentrul unui triunghi cu unghi obtuz aflat în afara triunghiului?
Un mod de a determina circumcentrul și ortocentrul pentru orice triunghi, obtuz sau nu, este folosind vectori și matrici.
Introducere:
Este puțin implicat, așa că nu va fi orice spațiu pentru a arăta calculele.
Să spunem că avem un triunghi cu vârfuri A, B și C și că lungimile laturilor opuse ale acestora sunt a, b și respectiv c.
Definim trei vectori: \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right) și \ vec {w} = \ vec {u } – \ vec {v} = \ left (BC \ right).
Acum, păcat vectorii sunt matrici, putem folosi formatul matricei unde un T după un vector înseamnă că este transpus. Deci \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2} și \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. Acestea sunt de fapt produse dot.
Pentru a evita confuzia, voi folosi și notația \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2} și \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. Deci, u \ equiv c, v \ equiv b , și w \ equiv a. Voi folosi, de asemenea, o pălărie pentru a reprezenta un vector unitar, care este doar un vector care a fost împărțit la propria lungime și, astfel, are o lungime de 1. De exemplu, \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
Matrice de transformare:
Acum definim o matrice de transformare. Dacă lucrăm în 2 dimensiuni va fi o matrice 2×2 și dacă lucrăm în 3 dimensiuni va fi o matrice 3×3. Rețineți că \ theta\_ {A} este unghiul dintre \ vec {u} și \ vec {v}, care este unghiul de la vârful A.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T} – \ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ left (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T} – \ hat {v} \ hat {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
Folosim matricea de transformare pentru a defini un alt vector.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {u} -u ^ {2} \ left (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = R \ vec {w}
Formule:
Fie H ortocentrul, care este punctul în care se intersectează toate cele trei altitudini ale unui triunghi. O altitudine curge de la fiecare vârf pe o linie care este perpendiculară pe piciorul său opus.
Fie Q circumcentrul, care este punctul în care se intersectează bisectoarele perpendiculare ale celor trei laturi ale unui triunghi. Este centrul circumcercului, care este un cerc care include toate cele trei vârfuri ale unui triunghi.
Acum, cu unele lucrări, se poate deduce acum că
\ quad \ begin {array} {l} H = \ vec {A} + \ left (\ vec {u} + \ vec {v} \ right) – \ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {array}.
Folosind vârfurile triunghiului menționat ca vectori, le putem converti în formule simetrice.
\ begin {array} {l} H = \ left (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ right) – \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B} + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ right)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B } + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ right)} \ end {array}
Rețineți că nu există rădăcini pătrate și nici o trigonometrie ar Trebuie să găsesc cele două centre.