So berechnen Sie den Wert von Phi


Beste Antwort

Zwei Größen befinden sich im Goldenen Schnitt , wenn ihr Verhältnis ist das gleiche wie das Verhältnis ihrer Summe zu der größeren der beiden Größen.

Wenn wir nun a und b (b> a) zwei Größen im goldenen Schnitt sein lassen,

\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a + b} {b} \ overset {\ mathrm {def} ^ n} {=} \ varphi \ tag * {}

\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} +1 \ tag * {}

\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {1} {\ frac {b} {a}} + 1 \ tag * {}

\ varphi = \ dfrac {1} {\ varphi} +1 \ tag * {}

\ varphi ^ 2- \ varphi-1 = 0 \ tag * {}

Die quadratische Formel zeigt, dass

\ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ ca. 1.618 \ tag * {}

(Die andere Lösung ergibt \ frac {a} {b} oder \ varphi ^ {- 1} )

Wie andere bereits erwähnt haben, entspricht das Verhältnis zwischen zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen auch ungefähr \ varphi.

Tatsächlich gilt für jede Sequenz, die die Wiederholungsrelation erfüllt (mit Startwerten A\_0, A\_1 nicht beide 0 , da dies zu einer konstanten Folge werden würde ),

A\_n = A\_ {n-1} + A\_ {n-2} \ tag * {}

Die Grenze von \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1}}, wenn sich n \ bis 0 \ varphi nähert

Dies kann bewiesen werden, indem L die Grenze ist,

L = \ lim \ limit\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1 }} \ tag * {}

Bei Verwendung der Wiederholung ist

L = \ lim \ limit\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-1} + A\_ { n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}

L = 1 + \ lim \ limit\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}

L = 1 + \ lim \ limit\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {\ frac {A\_ {n-1} } {A\_ {n-2}}} \ tag * {}

L = 1 + \ dfrac {1} {L} \ tag * {}

Wieder durch Multiplizieren Mit L und der quadratischen Formel können Sie zeigen, dass

L = \ varphi \ tag * {}

Antwort

Konstruktion mit Kompass und Lineal

Scott Beach hat eine Methode entwickelt, um diese Berechnung des Phi in einer geometrischen Konstruktion darzustellen:

Wie Scott weiter teilt seine Website: Triangle ABC ist eine richtige Tria Winkel, wobei das Maß für den Winkel BAC 90 Grad beträgt. Die Länge der Seite AB ist 1 und die Länge der Seite AC ist 2. Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um zu bestimmen, dass die Länge der Seite BC die Quadratwurzel von 5 ist. Die Seite BC kann um 1 Längeneinheit verlängert werden, um einen Punkt festzulegen D. Das Liniensegment DC kann dann halbiert (durch 2 geteilt) werden, um Punkt E festzulegen. Die Länge des Liniensegments EC ist gleich Phi (1,618…).

Phi Nomenal!

Quelle: http://www.goldennumber.net/phi-formula-geometry/

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