Beste Antwort
Der „Umfang“ einer geschlossenen Form ist einfach die Summe der Längen aller ihrer Grenzen. Ein „Sektor“ (eines Kreises) wird durch einen Bogen und zwei Radien begrenzt, sodass der Umfang das Zweifache des Radius (r) plus der Länge des Bogens beträgt. Der Bogen ist ein Bruchteil des Kreisumfangs, der das Zweifache des Radius beträgt.
Daher müssen wir nur den Radius und den Bruchteil des Umfangs (2 * pi * r) kennen durch den Bogen. Dieser Bruchteil entspricht dem Bruchteil der Kreisfläche, den der Sektor einnimmt, und entspricht dem Bruchteil, den der Zentralwinkel aus 360 Grad (oder 2-pi-Bogenmaß) herausnimmt.
Wenn der Zentralwinkel Der Winkel (am Punkt des Sektors) ist „Theta“, dann ist der Bogen der Umfang (pi * 2 * r) mal der Bruchteil von Theta-Grad / 360-Grad (oder Theta-Radiant / 2-Pi-Radiant).
Wenn Theta beispielsweise 90 Grad beträgt, ist der Bogen ein Viertel des Kreises mit einer Länge von: (1/4) * 2 * pi * r, also der Umfang diese Bogenlänge plus 2 * r (für die durch Radien gebildeten Seiten).
Wenn Theta pi / 6 Bogenmaß (30 Grad) beträgt, beträgt die Länge des Bogens (30/360) * 2 * pi * r, also ist der Umfang des Sektors = r * [2 + pi / 6].
Allgemeine Formeln für den Umfang eines Sektors, wobei Theta in Grad ausgedrückt wird, wären:
- [2 + (2 * pi) * Theta (Grad) / 360] * r
Wenn Theta im Bogenmaß ausgedrückt wird, lautet die Formel:
- [2 + Theta ( Bogenmaß)] * r
Antwort
Wir wollen die Formel für den Umfang eines Kreissegments.
Betrachten Sie das Segment ABC von ein Kreis mit dem Mittelpunkt O des Radius r.
Lassen Sie \ angle AOB = \ theta.
\ Rightarrow \ qquad Die Länge des Bogens ACB = r \ theta.
\ Dreieck AOB ist gleichschenklig.
\ Rightarrow \ qquad Die Projektion von OA und OB auf AB ist r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right).
\ Rightarrow \ qquad Die Länge des Akkords AB = 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ rechts).
Der Umfang des Segments ABC ist die Summe der Länge des Bogens ACB und des Akkords AB.
\ Rightarrow \ qquad Der Umfang des Segments ABC = r \ theta + 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right).