Beste Antwort
Gavin Song hat Ihnen bereits eine gute Antwort gegeben, aber ich werde mein Bestes tun, um Ihnen eine Alternative zu bieten Betrachtungsweise dieses Problems mit Calculus.
Fakt: Jede 2D-Ellipse kann als
\ begin {align *} y (t) & = a \ sin (t) parametrisiert werden. \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {align *}
Wobei 0 \ leq t \ leq 2 \ pi und a und b die semi-minor und semi-major sind Achsen (auch bekannt als vertikale und horizontale Radien).
Angenommen, ein Punkt hat eine Änderung in der x-Achse und eine andere in der y-Achse, z. B. \ Delta y und \ Delta x. Unter Verwendung des Satzes von Pythagoras wissen wir, dass die Länge zwischen der Anfangs- und Endposition des Punktes durch (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2} gegeben ist. Einfach richtig?
Wenden Sie diese Logik nun auf die parametrisierte Ellipse an. Um den Umfang der Ellipse zu approximieren, könnten wir einem Punkt auf der Ellipse in mehreren Schritten in t „folgen“, die Länge zwischen ihren Positionen in jedem Intervall messen und sie am Ende addieren. Wenn Sie versuchen, dies selbst zu tun, werden Sie feststellen, dass die Messung immer genauer wird, wenn wir immer kleinere Intervalle berücksichtigen. Um den wahren Umfang zu erhalten, könnten wir diesen Prozess für unendlich kleine Intervalle durchführen, die unendlich kleine Änderungen in x und y ergeben würden, z. B. dx und dy. Dies entspricht der Bewertung des folgenden Integrals:
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
Der Umfang sei ausgedrückt als l. Wenn wir die Parametrisierung von früher verwenden, können wir dies als
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy) ausdrücken } {dt} \ Big) ^ 2 + \ Big (\ frac {dx} {dt} \ Big) ^ 2 \ Big) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {align *}
Es gibt jedoch einen Haken. Dieses Integral hat keine symbolische Lösung, es sei denn, a = b (was uns elegant die Formel für den Umfang eines Kreises gibt), daher besteht unsere einzige Option darin, numerische Methoden zu verwenden, um eine gute Annäherung zu erhalten. Das mag für Sie entweder interessant oder enttäuschend sein, aber ich hoffe, es hat geholfen.
🙂
Antwort
Wenn Sie es mit mir aushalten, werde ich es tun Betrachten Sie diese Frage in umgekehrter Reihenfolge.
Angenommen, ein Kreis und eine Ellipse haben gleiche Flächen.
Meine Frage lautet „Haben sie den gleichen Umfang?“
(Beachten Sie, dass bei a = b = r die Formel der Fläche des Kreises entspricht.)
Der Umfang von Ein Kreis ist 2πr
Der Umfang einer Ellipse ist sehr schwer zu berechnen!
Menschen haben versucht zu finden Formeln, um den Umfang einer Ellipse zu finden, aber die meisten Versuche sind nur Annäherungen.
Einige Methoden beinhalten sogar das Summieren unendlicher Reihen!
Der berühmte indische Mathematiker Ramanujan hat eine sehr gute Formel ausgearbeitet, die ist ziemlich genau.
Beachten Sie, dass wenn a = b = r, die Ellipse zu einem Kreis wird und sich die obige Formel in die ändert Formel für den Umfang des Kreises C = 2πr .
Wenn wir dies in seine Formel einsetzen, erhalten wir:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Betrachten wir ein bestimmtes Beispiel, bei dem der Kreis einen Radius von 6 cm und eine Ellipse hat eine Hauptachse von 9 cm und eine Nebenachse 4 cm.
Kreisfläche = π × 6 × 6 = 36π sq cm
Fläche von Ellipse = π × 9 × 4 = 36π sq cm
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Der Umfang des Kreises = 2πr = 12π cm
Der Umfang der Ellipse nach Ramanujans Formel lautet:
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Schlussfolgerung: Wenn der Kreis und die Ellipse dieselbe Fläche haben, hat die Ellipse eine größer Umfang als der Kreis .