Beste Antwort
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine quadratische Gleichung zu lösen. Sie können die Add-In-Solver-Funktion verwenden. Ich bin nicht allzu vertraut damit, wie das funktioniert, aber es ist ein Vorschlag für Sie.
Andere Möglichkeiten, mit denen ich vertraut bin, sind das Erstellen oder Zeichnen einer Tabelle.
Angenommen, wir haben die einfache Gleichung: 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Jetzt wissen wir, dass wenn wir dies herausrechnen, wir (x + 5) (x + 2) = 0 erhalten, dies bedeutet x = -2, -5. Gleichzeitig können wir dies als Leitfaden verwenden, um zu sehen, wie unsere Lösung in Excel überprüft wird.
Als Erstes können wir eine Excel-Tabelle erstellen. Was ich gerne mache, ist eine Excel-Tabelle einzurichten. Ich habe die x-Werte im linken Bereich von -50 bis 50. Danach kann ich einfach die Gleichung als solche einfügen:
= [@x]*[@x] + 7*[@x] + 10
oder
=power([@x],2) + 7*[@x] + 10
[@x] ist im Grunde die Zellreferenz für die x-Werte in der Spalte (ich werde Ihnen in Kürze ein Bild davon geben, wie dies funktioniert).
Wenn Sie sich die Gleichung ansehen, die wir zuvor erhalten haben, ist 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Dies bedeutet, dass wir y = 0 setzen (weil die gesamte Gleichung y ist). Dies bedeutet, dass wir in Bezug auf die Excel-Tabelle auf der linken Seite nach x-Werten suchen müssen, die in der y-Spalte als nächstes eine 0 haben. Beachten Sie Folgendes:
Wenn Sie bemerken, haben wir zwei Werte, neben denen eine Null steht, -2 und -5. Dies sind die Lösungen der Gleichung.
Ein weiteres Beispiel wäre die grafische Darstellung Ihrer Gleichung. Hier können wir unsere Excel-Tabelle als Seriendaten verwenden, um die Punkte zu zeichnen.
Das Zeichnen der Punkte in der Grafik macht dies nicht sofort offensichtlich. Daher müssen Sie möglicherweise das Minimum und das Maximum der Achsen anpassen. In meinem Diagramm habe ich die x-Achse so angepasst, dass sie zwischen -10 und 5 und die y-Achse zwischen -10 und 10 liegt.
Wenn Sie bemerken, kreuzt der Graph x = -2 und kreuzt x = -5. Wir konnten die Gleichung also auch grafisch lösen.
Antwort
Ich nehme an, Sie meinen „schwer zu faktorisieren“. Betrachten wir einen allgemeinen Ausdruck von ax ^ 2 + bx + c.
Um dies zu lösen, setzen wir diesen Wert auf 0 und erhalten ax ^ 2 + bx + c = 0. Finden Sie x ist Ihre Pflicht.
Gott, es wäre WIRKLICH hilfreich, wenn es eine einfache Lösung gäbe, die für alle allgemeinen Koeffizienten funktioniert. Zum Glück gibt es das und es ist etwas leicht zu finden (versuchen Sie es nicht mit kubischen Gleichungen oder höher, Sie können versuchen, es zu finden, aber es ist auf dieser Ebene SEHR schwer zu finden).
Wir möchten also sorgfältig darüber nachdenken. Was ist das Problem bei der Lösung von x hier?
In einer normalen linearen Gleichung wie ax + b = 0 ist es einfach. x ist ein Vorkommen. Das Problem mit Quadratics ist, dass das lästige ax ^ 2 + bx-Format, da unsere Strategie, eine Konstante zu subtrahieren und zu dividieren, um x zu erhalten, nicht funktioniert, wir es entstellen müssen und seitdem nicht einfach Factoring verwenden können Es wird immer ein x-Defizit von eins geben, wenn wir versuchen, durch x oder x ^ 2 herauszufiltern.
Verdammt, was machen wir dann hier? Wir haben einen quadratischen Teil, das muss bedeuten, dass wir irgendwie etwas Quadratisches bekommen müssen, wie (?) ^ 2 = gx ^ 2 + hx + e, wo wir später wie f hinzufügen könnten, um eine Konstante zu sein, die wir wie unsere leicht subtrahieren können Beispiel für eine lineare Gleichung. Klar, die? muss irgendwo ein singuläres x enthalten, aber wir müssen dem x-Teil auch eine Konstante hinzufügen, da die Verteilungseigenschaft die Konstante mit dem x entstellt, und dies auch mit x und sich selbst und einer Konstanten, wodurch ein Singular entsteht x, ohne Exponenten. Wir werden dann in der Lage sein, alle Konstanten, die wir auf der anderen Seite haben, zu quadrieren und sie dann wie eine lineare Gleichung zu lösen.
Lassen Sie uns also in diese Position gelangen.
Lassen Sie uns Wir teilen unsere ursprüngliche Gleichung auf beiden Seiten durch a, damit ich ein reines x ^ 2 erhalten kann und nicht \ sqrt {a} als Koeffizienten verwenden muss, der komplizierter wird.
Wir erhalten x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + c / a = 0.
Okay, also unsere Form der? muss x + k sein, da es keinen Koeffizienten von x geben kann, der nicht einer ist, da die Verteilung kein „reines“ x ^ 2 ergeben würde. Was ist dann k? Nun, lassen Sie uns hier ein wenig nachdenken – wir wollen auf eine Weise zwingen, hx = \ frac {b} {a} x zu erhalten. Immer wenn ich etwas quadriere und zwei Begriffe hinzugefügt werden, muss ich die Verteilung verwenden, um „stückweise“ zu gehen. Da ich, wenn ich es quadriere, diese Größe (die beiden Terme werden summiert) mit sich selbst multipliziere, erhalte ich wie erwähnt das x ^ 2 aus dem x-Term, eine Konstante aus dem k-Term, aber auch kx, indem ich k in durchgehe Die erste Größe multipliziert das x in der zweiten und x und k in die andere Richtung, aber ich addiere diese, um 2kx zu erhalten. [Um dies zu sehen, schreibe (x + k) (x + k), verteile, um (x + zu erhalten) k) x + (x + k) k. Verteilen Sie es nun und zeichnen Sie die Pfade, um x ^ 2 + kx + kx + k ^ 2 zu erhalten, was x ^ 2 + 2kx + k ^ 2 ergibt.
Also, was auch immer dieses k ist Wir müssen 2kx = \ frac {b} {a} x haben, aber das bedeutet k = \ frac {b} {2a}. Ok, jetzt kommen wir irgendwohin.Erinnern Sie sich an die Tatsache, dass wir quadrieren, einige (x + k) ^ 2, und wenn ich dieses get (x + k) (x + k) erweitere, werde ich einem Pfad der Multiplikation durch Verteilung folgen. Ein solcher Weg, dem ich folgen muss, ist k mal k, aber wir wissen bereits, was k ist, also müssen wir eine Konstante k ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} haben. Fügen wir das also einfach zu beiden Seiten hinzu, was wir tun können, da dies konstant ist und es uns egal ist, welche Konstante wir auf der anderen Seite erhalten. Wir möchten dieses Durcheinander nur richtig berücksichtigen.
Also machen wir genau das und erhalten
x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Und jetzt haben wir alle Begriffe, die es uns ermöglichen, dies in ein (x + k) ^ 2 = konstantes Format zu zerlegen, genau das, was wir wollten! Wir haben festgestellt, dass k \ frac {b} {2a} ist, also berücksichtigen wir dies einfach.
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Jetzt wollen wir dieses Durcheinander hübsch machen, bemerken, dass wir schließlich zur Quadratwurzel gehen, sobald wir die Konstanten subtrahieren, und wir haben in einem Term einen Nenner von 4a ^ 2, die sehr leicht quadratisch wurzelt. Machen wir c / a damit kompatibel, indem wir es mit 1 multiplizieren, was nichts ändert, aber 1 = 4a / 4a. Wir müssen uns keine Sorgen um a = 0 machen, da wir sonst eine lineare Gleichung hätten, auf die wir uns nicht konzentrieren.
Also erhalten wir (x + \ frac {b } {2a}) ^ 2 + 4ac / 4a ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Großartig, also subtrahieren Sie jetzt den zweiten Term, da sie gemeinsame Nenner haben, und wir get
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}
Und die rechte Seite ist jetzt konstant können wir beide Seiten leicht quadrieren!
Wir erhalten
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a }
Dies ist nicht ganz richtig, da wir erkennen müssen, dass bei einer Quadratwurzel eine positive Zahl, d ^ 2, d positiv oder negativ sein kann. Für ein gutes Maß fügen wir also ein Plus- oder Minuszeichen hinzu und erhalten
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} { 2a}
Und wir können jetzt dieses k subtrahieren, da wir jetzt eine lineare Gleichung zu lösen haben, wie wir wollten, und wir erhalten
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}