Beste Antwort
Beginnen Sie mit der Lösung. Wenn Sie beispielsweise möchten, dass die Lösung x = 1 ist, ist der entsprechende Faktor x – 1. Da dies die einzige Lösung ist, müssen beide Faktoren sein, wodurch die Gleichung
( x – 1) (x – 1) = 0
oder
x ^ 2 – 2x + 1 = 0
Antwort
Die Lösungen einer quadratischen Gleichung sind die beiden Punkte, an denen der Graph die x-Achse kreuzt. Das heißt, es sind die beiden Werte von x, die y im Diagramm zu Null machen.
Wir erhalten diese Punkte durch Faktorisierung der Gleichung. Zuerst schreiben wir die Gleichung in die Form 0 = ax ^ 2 + bx + c.
Wenn es einfach genug ist, können wir die rechte Seite faktorisieren, indem wir sie betrachten. Wenn die Gleichung beispielsweise lautet: 0 = x ^ 2 + 7x + 12, können Sie mit etwas Übung erkennen, dass dies zu 0 = (x + 3) (x + 4) führt.
Der Grund Factoring ist so wichtig, dass, wenn das Produkt zweier Zahlen gleich Null ist, einer der Begriffe Null sein muss. Da wir also 0 auf der linken Seite und ein Produkt auf der rechten Seite (x + 3) (x + 4) haben, muss einer dieser Begriffe Null sein.
Also entweder x + 3 = 0 oder x + 4 = 0. Wir können in beiden Fällen nach x auflösen und erhalten x = -3 oder x = -4. Das bedeutet, dass der Graph unserer Gleichung die x-Achse an zwei Punkten, -3 und -4, kreuzt. Der Graph dieser Gleichung ist also eine Parabel (alle quadratischen Gleichungen sind Parabeln), die nach links und unten verschoben ist, also die beiden Arme der Parabel kreuzen die x-Achse bei -3 und -4.
Manchmal ist es nicht einfach, die Gleichung durch Beobachten zu faktorisieren. In diesem Fall können wir die quadratische Formel verwenden. (Es macht wirklich Spaß, die quadratische Formel abzuleiten. Wenn Sie nicht wissen, wie und wie ich es Ihnen zeigen soll, fragen Sie einfach.)
Hier ist die quadratische Formel:
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a}
Um es zu testen, ist 0 = x, wenn wir a, b und c aus unserer Gleichung einstecken ^ 2 + 7x + 12, dann a = 1, b = 7, c = 12 und Einfügen in die Formel erhalten wir:
x = \ frac {-7 \ pm \ sqrt {7 ^ 2 – 4 (1) (12)}} {2 (1)}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {49 – 48}} {2}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {1}} {2}
= \ frac {-7 + 1} {2} und \ frac {-7 – 1} {2}
= \ frac {-6} {2} = -3 und \ frac {-8} {2} = -4. Also hat es funktioniert!
Okay, das alles ist vorläufig für Ihre Frage. Ihre Frage ist, wann die Lösungen für eine quadratische Gleichung unendlich sind. Lassen Sie uns darüber nachdenken, was das bedeutet. Zunächst ist klar, dass es nicht möglich ist, eine -Lösung im Unendlichen zu haben, aber die andere Lösung endlich. Wenn dies der Fall wäre, hätten wir eine endliche Anzahl mal unendlich, die nicht gleich Null sein kann.
Die Frage ist also, ist es möglich, dass beide Lösungen, um unendlich zu sein? Wie würde das aussehen?
In der quadratischen Formel wäre der einzige Weg, es unendlich zu machen, wenn a = 0. Dann wäre der Nenner Null, und daher wäre die gesamte Gleichung „unendlich“. Aber wenn a = 0 ist, dann ist die Gleichung nicht mehr quadratisch, sondern linear, oder? Zum Beispiel ist 0 = 0x ^ 2 + 7x + 12 dasselbe wie 0 = 7x + 12. Das ist nur eine Linie, sie ist linear und nicht quadratisch. Aber jede Linie kreuzt irgendwo die x-Achse, oder? Dies ist nur dann nicht der Fall, wenn es parallel zur x-Achse verläuft. Das heißt, wenn es eine Steigung von 0 hat. Das bedeutet, dass b = 0. Jetzt haben wir also 0 = 0x ^ 2 + 0x + c. Mit anderen Worten, 0 = c. Aber dann ist c = 0. Mit anderen Worten, es gibt keine solche Gleichung. Wie die andere Antwort sagte, kreuzen alle quadratischen Gleichungen die x-Achse an einem endlichen Punkt. (Beachten Sie, dass diese Punkte nicht unbedingt real sind! Wenn b ^ 2 – 4ac negativ ist, hat die Gleichung tatsächlich imaginäre Wurzeln. Aber sie sind immer noch endlich.)