Bästa svaret
Det korta svaret är, ja, intervall för en matris är detsamma som dess kolumnutrymme, men det finns en subtilitet.
Med tanke på ett visst antal m kan vi se detta nummer antingen som en konstant, eller som ett medel för att definiera en linjär funktion, f (x) = mx. På samma sätt kan vi se en matris \ mathbf {M} antingen som en rad med siffror (tråkig) eller som ett sätt att definiera en linjär funktion f (\ mathbf {x}) = \ mathbf {M} \ mathbf {x}.
Termen intervall avser uppsättningen utgångar som f () kan returnera och definieras vanligtvis som en egenskap av funktioner, inte siffror.
kolumnutrymme definieras däremot vanligtvis som en egenskap hos själva matrisen. Och eftersom kolumnutrymme är uppsättningen av alla möjliga linjära kombinationer (aka span ) av kolumnerna i \ mathbf {M}, detta kan skrivas som \ {\ mathbf {M} \ mathbf {x} | \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} \}, vilket är själva intervallet av f ovan.
Svar
Området för en matris är det område för matrisen som ses som en linjär transformation. En n-by-p (real) matris A är också en linjär transformation från R ^ p till R ^ n (det p- dimensionella euklidiska utrymmet till det n-dimensionella euklidiska utrymmet.) Domänen är R ^ p och intervallet består av alla linjära kombinationer av kolumnerna i A, dvs uppsättningen \ {Ax: x \ i R ^ p \} (xa kolumnvektor.)
Om A har rang p, har intervallet rang p, och detta är möjligt om n> = p.
Detsamma gäller för en komplex matris A som en linjär transformation från C ^ p till C ^ n där C är fältet för komplexa tal.