Bästa svaret
Jag ska presentera detta som om alla är överens, vilket inte riktigt är sant.
Varje tal, verkligt eller komplext, har två kvadratrötter som är negationer av varandra. Undantaget är noll, vilket är sin egen negation.
Domänen av kvadratrot kan vara de verkliga siffrorna eller de komplexa siffrorna, och konventionerna är något annorlunda. Låt oss först fokusera på kvadratroten av verkliga tal.
Det radikala tecknet \ sqrt {x} när det tillämpas på ett verkligt tal anger principen eller positiv kvadratrot. Om x \ ge 0 då \ sqrt {x} \ ge 0. Så för att besvara frågan med kvalifikationer är den huvudsakliga kvadratroten av ett positivt tal alltid positiv, per definition.
Den huvudsakliga kvadratroten av en negativ real är en positiv real tid i. Även om de komplexa siffrorna inte är ordnade finns det en viktig ordning på den imaginära axeln som är analog med den på den verkliga axeln.
När vi pratar om ”kvadratroten” hänvisar vi vanligtvis till huvudsakliga kvadratrot. När vi pratar om ”en kvadratrot” menar vi antingen. I den här frågan levererar OP inte en artikel, så ingen hjälp här.
När vi har att göra med kvadratrötter av verkliga tal är det mycket viktigt att vi förstår
\ sqrt {x} \ ne \ pm \ sqrt {x}
När domänen är real är \ sqrt {x} en funktion från reella tal till komplexa. Det tar ett enda unikt värde för varje riktig x. Det är alltid antingen 0, ett positivt reellt tal eller ett positivt verkligt antal gånger i. Det är den av de två kvadratrötterna som har definierats som huvudkvadratroten.
Om inte huvudvärden uttryckligen begärs, ska kvadratroten av ett komplext tal \ sqrt {z} behandlas som en flervärdigt uttryck. Så här skulle jag säga \ sqrt {z} = \ pm \ sqrt {z}.
När vi uttryckligen vill ha det flervärdiga uttrycket hänvisar uttrycket till båda kvadratrötterna, antingen w så att w ^ 2 = z. Jag föredrar \ pm \ sqrt {z}. Men \ pm kan bli förvirrande och tvetydigt, så det kan gå åt båda hållen.
Mer kontroversiellt behandlar jag det ömsesidiga naturliga talet som en exponent, z ^ {\ frac 1 2}, som det mångfaldiga uttrycket som hänvisar till till alla rötter, inte en funktion.
Exakt vad jämställdhet av flervärdesuttryck betyder brukar glänsas över, särskilt det irriterande problemet som 1 ^ {\ frac 1 2} \ ne 1 ^ {\ frac 2 4} . Kanske.
Svar
Hmm, den här är knepig … Så här går:
Kvadratroten är en matematisk funktion, och dess verkligt namn är positiv kvadratrotfunktion, vilket tydligen ger alla + ve-värden. Anledningen till denna skillnad är att i en matematisk funktion f (x, y) för varje värde av x måste det finnas en unikt värde på y. Således kan kvadratroten på 4 inte vara +2, -2, per definition! Så som en norm tar vi bara kvadratrotfunktionen för att vara positiv.
Detta skapar mycket förvirring eftersom kvadraten för både +2 och -2 är 4, men kvadratroten på 4 kan bara ta värdet +2, men jag antar att det är uppsättningen regler som vi följer. Tänk gärna på ett annat system, där kvadratrotsfunktionen ger både + och och -ve-värdena, även om jag antar att det skulle leda till massiv oordning någonstans längs vägen. matematik är i experiment!