Bästa svaret
Säg, 2 ^ 32 + 1 är delbart med m.
Så, 2 ^ 32 = -1 (mod m)
(2 ^ 32) ^ 3 = (- 1) ^ 3 ( mod m)
2 ^ 96 = -1 (mod m)
2 ^ 96 + 1 = 0 (mod m)
Så, rätt svar är 2 ^ 96 + 1
Svar
Du gör det inte. Se till exempel vad som händer när x = 12. Du får x ^ 2 = 144 = 24 \ cdot 6 men x är inte delbart med 24.
Jag kan stanna här, men det skulle inte vara lärorikt , förutom att säga att du har fel. Det är inte särskilt användbart.
Jag kan trots allt bevisa att om k | x ^ 2 (läs det som “k delar x ^ 2), sedan k | x för många k, inklusive 21, 22, 23, 26, 29 och 30, men inte för 20, 24, 25, 27 eller 28. Vad är skillnaden? Det är där saker blir intressanta och lärorika.
Vad vet vi om x? Vi vet med den grundläggande teoremet för aritmetik att x kan representeras unikt som en produkt av primtal, x = 2 ^ {a\_2} 3 ^ {a\_3} 5 ^ {a\_5} \ cdots. Alla (eller alla, för x = 1) av dessa a\_p-värden kan vara 0, och i själva verket är endast ett begränsat antal av dem inte noll.
Det betyder att x ^ 2 = 2 ^ { 2a\_2} 3 ^ {2a\_3} 5 ^ {2a\_5} \ cdots. Alla exponenter är nu jämna.
Vad vet vi om k? Med samma sats vet vi att k = 2 ^ {k\_2} 3 ^ {k\_3} 5 ^ {k\_5} \ cdots.
Hur är detta relaterat till delbarhet? Om k | x ^ 2, det betyder att k\_2 \ leq 2a\_2, k\_3 \ leq 2a\_3, \ dots, k\_p \ leq 2a\_p, \ dots. Om k | x, det betyder att k\_2 \ leq a\_2, k\_3 \ leq a\_3, \ dots, k\_p \ leq a\_p.
Så allt vi verkligen behöver göra för att bevisa om x ^ 2 är delbart med k, då x är delbart med k är visa att om k\_p \ leq 2a\_p, då k\_p \ leq a\_p. Eftersom k\_p, a\_p kan vara vilket som helst icke-negativt heltal, kan vi titta på det enklare problemet: under vilka förhållanden har vi b \ leq 2c som antyder b \ leq c?
I grund och botten försöker vi hitta värden av b där uttrycket c \ leq 2c inte håller för någon c. Eftersom det inte finns någon c , fungerar b = 0. För b = 1 tvingas vi ha c = 0 , och så 1 \ inte \ leq 2c = 0, så b = 1 fungerar.
Men för b> 1 fungerar det inte arbete. Du kan alltid välja c = b-1
För att få tillbaka detta till vårt problem betyder det att vi kan säga k | x ^ 2 \ innebär k | x endast när exponenterna av primtal i k är antingen 0 eller 1. Dessa värden på k kallas ”kvadratfria” eftersom du inte kan dela dem med ett kvadratnummer.
Så du kan visa k | x ^ 2 \ innebär k | x om k är kvadratfritt.
För siffrorna jag tittade på ovan är 20 delbart med kvadrat 4, 24 är delbart med kvadrat 4, 25 är kvadrat, 27 är delbart med kvadrat 9 , 28 är delbart med kvadrat 4. De andra siffrorna, 21, 22, 23, 26, 29, 30, är alla kvadratfria, som du kan kontrollera om du vill.