Bästa svaret
Jag undervisade en gång matematik på några mellanstadieelever på en exklusiv privatskola. Jag hade en student som var arrogant och ständigt irriterade mig och de andra studenterna. Administrationen stödde inte mina försök att disciplinera honom. Jag kom med den här lösningen:
Jag sa till honom om han kunde hitta ett mönster till primtal, så att han kunde förutsäga nästa, skulle han kunna tjäna mycket pengar och bli känd. Han gillade den här utmaningen och började ägna sig åt den. Han hade sidor och sidor med beräkningar och störde mig aldrig mer. Varje gång ett tag visade jag ett visst intresse för hans arbete och han sa något som ”Jag tror att jag håller på med något …”
Jag visste att han inte skulle hitta någonting, för jag visste att det inte finns något mönster för primtal. Det kan finnas vissa lokala områden där det verkar som om det finns ett mönster, men det finns inget övergripande mönster och ingen formel för att förutsäga NÄSTA primtal utan TESTING.
Tänk på det här. Du är en paleolitisk man som räknar ut att 2, 3, 5, 7, 11 och 13 är främsta. Du undrar vad nästa prime blir. Det finns inget sätt att hitta det utan några test. Du kan testa 14. Nej. 15, Nej. 16, Nej. 17, Bingo.
Du behöver bara testa faktorerna upp till och med kvadratroten av numret (i fallet 17: 2, 3 och 4) eftersom nästa nummer blir för stort, men du behöver testa. Denna testning tar lång tid beräkningsmässigt. Detta är den nuvarande grunden för kryptografi. Om vi kunde förutsäga nästa prime skulle alla våra lösenord vara nakna.
Matematiker tycks hata att erkänna att det finns detta CHAOS mitt i siffrorna, men det finns, och jag tycker det är underbart.
Hur vet jag att det inte finns något mönster?
Mönster: (ordboksdefinition) • en ordning eller sekvens som regelbundet finns i jämförbara objekt eller händelser. • en REGULÄR och begriplig form eller sekvens som kan urskiljas i vissa handlingar eller situationer.
Så ett MÖNSTER innebär regelbundenhet eller upprepning. REPETITION innebär MULTIPLICATION eftersom MULTIPLICATION är REPETITIVE ADDITION. Multiplikation innebär FAKTORER, och vi kan inte ha faktorer om det är primärt.
Beräkna: (definition) bestäm matematiskt (mängden eller antalet). Vi bestämmer inte om ett tal är primärt MATEMATISKT. Vi gör det EXPERIMENTELT.
Jag tror att primtal inte har ett MÖNSTER utan verkar ha vissa TENDENSER. De tenderar att bli mer SPARSA när kvantiteterna ökar, men plötsligt … ser du två tillsammans. Dessa kallas dubbla primtal. Exempel: (41, 43), (137, 139). Ingen vet om tvillingprimier, som primtal, är oändliga. Det har inte bevisats.
Wikipedia: ”Det nuvarande största primära paret som är känt är 2996863034895 · 2 ^ 1290000 ± 1 med 388 342 decimaler. Det upptäcktes i september 2016. ” Twin prime – Wikipedia
Som med själva primerna, finns det inget f *** ing sätt att förutsäga när dessa twin prime kommer längs. (Det KAN vara möjligt att bevisa om de någonsin slutar. Prova det.)
Vissa tror att det finns ”mönster” i Ulam Spiral. Ulam spiral – Wikipedia
Dock laddar du ner figuren och spränger den upp ser du några raka linjer fram och försvinner sedan. Primtal är oändliga. Så naturligtvis statistiskt (i vårt ARBITRARY Base 10-system) kommer vissa raka linjer ibland att visas, som när du vänder mynt kommer du ibland att få en stor uppsättning Heads.
(Ulam Spiral använder också rutor. Jag tror att en annan spiral kommer att visas om du använder andra områden som fyller området: trianglar eller hexagoner.)
Vetenskap handlar om att hitta mönster för att förutsäga. Vi kan förutsäga när nästa månförmörkelse kommer att vara, vi kan förutsäga när solen kommer att gå upp imorgon, vi kan förutsäga när vattnet kommer att frysa och koka, men vi kan INTE förutsäga nästa primtal.
Sammanfattning: Du kanske kan plocka upp ormen, men du vet inte på vilket sätt den kommer att vridas.
Obs: Detta svar är mestadels baserat på mitt tidigare svar här:
Bill Lauritzens svar på Finns det ett pris till den som upptäcker mönstret i primtal?
Svar
Det är sant att fördelningen av primtal kan verka slumpmässig (och det är i viss utsträckning). Men verktygen för analytisk talteori ger oss avgörande inblick i fördelningen av primtal och avslöjar många intressanta mönster
Låt \ pi (x) representera antalet primtal \ leq x där x är en positiv verklig variabel.
Enligt primtalsteckning , av vilken jag inte känner till ett fint elementärt bevis (det enklaste jag vet använder komplex analys), följande gäller \ pi (x) när x närmar sig oändligheten:
\ pi (x) \ sim \ frac {x} {\ log x}
~ representerar asymptotisk ekvivalens, vars huvudidé är att funktionen \ pi (x) kommer mycket nära funktionen \ frac {x} {\ log x}, med approximationen bättre och bättre när x blir större och större.
För de som känner till elementär kalkyl är f (x) \ sim g (x) om gränsen när x närmar sig oändligheten av \ frac {f (x)} {g (x)} är 1.
Som vanligt i högre matematik representerar loggen den naturliga logaritmen. Detta innebär också att om p (n) representerar den n: e primtalet, då:
p (n) \ sim n \ log (n)
En annan lätt samarbetspartner är att om du väljer ett slumpmässigt heltal från det första n positiva heltalet, sannolikheten för att det är primtal är ungefär \ frac {1} {\ log n}
En annan form av primtalssatsen som är något mindre intuitiv men empiriskt mer exakt är följande:
\ pi (x) \ sim \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
I båda fallen vänster sidan är ett heltal medan den högra sidan är någon hemsk transcendental funktion (som vi kan utvärdera lite lättare än vänster konstigt nog). Hur som helst måste det finnas något fel om vi approximerar \ pi (x) som \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
Jag vet inte riktigt det bästa fel som bevisats hittills, men om Riemann-hypotesen visar sig vara sant kan vi förbättra fel bunden till:
\ pi (x) = \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt + O (\ sqrt {x} \ log (x))
På samma sätt, om det bundna felet är sant, kan vi också bevisa Riemann hypotes. Saken med det här felet är att det är tätt: vi vet att vi inte kan göra det bättre.
Jag skulle säga att primtalsatsen är förmodligen det viktigaste och intressantaste resultatet i analytisk talteori
tl; dr, primtalen följer asymptotiskt en fördelning som är som en relativt enkel analytisk funktion, så ja det finns ett mönster.