Bästa svaret
Ja.
Den ligger utanför triangeln.
H är ortocentret för \ Delta ABC.
Observera också att \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
Svar
Hur hittar du omkretsen och ortocentret för en tråkig-vinklad triangel som ligger utanför triangeln?
Ett sätt att bestämma kringcentret och ortocentret för vilken triangel som helst, obtus eller inte, med hjälp av vektorer och matriser.
Intro:
Det är lite involverat, så det kommer inte att vara vilket utrymme som helst för att visa beräkningarna.
Låt oss säga att vi har en triangel med hörn A, B och C och att längderna på deras motsatta sidor är a, b respektive c.
Vi definierar tre vektorer: \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right) och \ vec {w} = \ vec {u } – \ vec {v} = \ left (BC \ right).
Nu, synd ce-vektorer är matriser kan vi använda matrisformat där en T efter en vektor betyder att den transponeras. Så \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2} och \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. Det här är faktiskt prickprodukter.
För att undvika förvirring använder jag också beteckningen \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2} och \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. Så, u \ equiv c, v \ equiv b , och w \ equiv a. Jag kommer också att använda en hatt för att representera en enhetsvektor, som bara är en vektor som har delats med sin egen längd och därmed har en längd på 1. Till exempel \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
Transformationsmatris:
Vi definierar nu en transformationsmatris. Om vi arbetar i 2-dimensioner blir det en 2×2-matris och om vi arbetar i 3-dimensioner blir det en 3×3-matris. Observera att \ theta\_ {A} är vinkeln mellan \ vec {u} och \ vec {v}, vilket är vinkeln vid vertex A.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ höger) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T} – \ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ left (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T} – \ hat {v} \ hat {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
Vi använder transformationsmatrisen för att definiera en annan vektor.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ höger) \ vec {u} -u ^ {2} \ vänster (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ höger) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = R \ vec {w}
Formler:
Låt H vara ortocentret, vilket är den punkt där alla tre höjderna i en triangel korsar varandra. En höjd sträcker sig från varje toppunkt på en linje som är vinkelrät mot dess motsatta ben.
Låt Q vara cirkumentret, vilket är den punkt där de vinkelräta halvorna på alla tre av en triangelns sidor skär varandra. Det är mitten av omkretsen, som är en cirkel som inkluderar alla tre hörn i en triangel.
Nu, med lite arbete, kan det nu härledas att
\ quad \ börja {array} {l} H = \ vec {A} + \ left (\ vec {u} + \ vec {v} \ right) – \ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {array}.
Genom att använda topparna i den nämnda triangeln som vektorer kan vi konvertera dessa till symmetriska formler.
\ begin {array} {l} H = \ left (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ right) – \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ höger) \ vec {A} + b ^ {2} \ vänster (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ höger) \ vec {B} + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ höger) – \ frac {1} {2} \ vänster (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ höger)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ höger) \ vec {A} + b ^ {2} \ vänster (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ höger) \ vec {B } + c ^ {2} \ vänster (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ höger) \ vec {C}} {\ vänster (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ höger) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ right)} \ end {array}
Observera att inga kvadratrötter och ingen trigonometri ar krävs för att hitta de två centren.