Bästa svaret
Det är inte rotation för 45 ^ o. Det är transformationen för att rotera en vektor i \ mathbb {R} ^ 2 med en vinkel \ theta. Du kan härleda formeln så här:
Låt vektorn \ mathbf {V} roteras med en vinkel \ theta under lite transformation för att få den nya vektorn \ mathbf {V ”}.
Låt r = | \ mathbf {V} |. Sedan har vi relationerna:
v\_x = r \ cos \ alpha
v\_x ”= r \ cos (\ alpha + \ theta)
v\_y = r \ sin \ alpha
v\_y” = r \ sin (\ alpha + \ theta)
Varifrån har du relationerna:
v\_x ”= v\_x \ cos \ theta – v\_y \ sin \ theta
v\_y ”= v\_x \ cos \ theta + v\_y \ sin \ theta
Detta representeras i matrisform som
\ begin {pmatrix} v\_x” \\ v\_y ”\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta && – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} v\_x \\ v\_y \ end {pmatrix}
Svar
Det finns flera sätt att attackera detta problem.
Det första är att helt enkelt åberopa Eulers rotation sats, som anger att ett ändligt antal rotationer runt en enda fast punkt (men runt godtyckliga axlar i andra imensions) kan uttryckas som en enskild rotation av vinkel \ theta runt en axel \ hat {n}.
Om vi accepterar att varje rotation representeras av en matris och att metoden att rotera en vektor är matrismultiplikation, därefter följer det omedelbart av detta att produkten av rotationsmatriser A\_1 A\_2 … A\_n måste också vara en rotationsmatris – annars har vi brutit mot Eulers rotationssats.
Frågan är naturligtvis, hur du faktiskt bevisar denna sats.
Eulers originalverk är … grovt. Det involverar många, många trianglar ritade på ytan av sfärer (dvs. icke-euklidiska trianglar).
Om du vill följa beviset till slutet, den tidigare länkade wikipedia-sidan verkar göra ett halvvägs anständigt jobb.
En alternativ metod (eller, likvärdigt, ett sekundärt sätt att bevisa Eulers sats, antar jag), är att direkt använda egenskaperna hos rotationsmatriser, med en liten utflykt till gruppteori.
En rotation, matematiskt sett, är varje operation där avstånden mellan alla punkter i utrymmet förblir konstant och som lämnar en punkter, eller uppsättning punkter, fasta (förutsatt att vi är på ett enkelt euklidiskt utrymme), förutom att bevara orienteringsstrukturen för objektet.
I gruppteoretiskt språk kallar vi dessa operationer (på euklidiskt utrymme ) ”Special Orthogonal Group in n dimensions”, eller SO (n) för kort.
Matriserna A som är medlemmar i SO (n) definieras av följande två egenskaper:
- A ^ TA = 1\_n (den ortogonala biten)
- \ text {det} (A) = 1 (den speciella biten)
Dvs. rotationsmatriser är ortogonala matriser med determinant. Här är 1\_n identitetsmatrisen i n-dimensioner.
Villkoret ”ortogonalitet” är det villkor som säkerställer att avstånd bevaras, eftersom vi i euklidiskt utrymme har längden dof en vektor \ mathbf {v} är:
\ displaystyle d ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ tag * {}
Om vi roterar denna vektor, så att \ mathbf {v} ^ \ prime = A \ mathbf {v}, med A en ortogonal vektor, sedan med egenskaperna för matrixmultiplikation:
\ displaystyle \ mathbf {v} ^ \ prime \ cdot \ mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} ^ TA ^ TA \ mathbf {v} = \ mathbf {v} ^ T \ mathbf {v} = d ^ 2 \ tag * {}
Därav avståndet d påverkades inte av rotationen.
Alla ortogonala matriser har determinant \ pm 1, men de med en negativ determinant inkluderar också en spegel-vänd reflektion runt någon axel. Med tanke på att vi vill ha rena rotationer, inte reflektioner, för att bevara objekternas orientering i vårt utrymme, begränsar vi oss därför till dem med positiva determinanter – det är där den ”speciella” biten kommer ifrån.
Det faktum att jag har nämnt att dessa strukturer bildar en grupp (med tillhörande operation är matrixmultiplikation) är faktiskt tillräcklig för att dra slutsatsen att produkten av flera rotationsmatriser i själva verket också är en rotation, eftersom grupper definieras som c förlorad under gruppoperationen .
Detta innebär att två element g\_1 och g\_2 i en grupp G, med gruppoperation g\_1 \ bullet g\_2 måste returnera ett tredje element, g\_3, som också är medlem i gruppen G. Därför, om A och B är rotationsmatriser, från definitionen av en grupp, följer det att A \ bullet B = AB också är en rotationsmatris.
Naturligtvis … det här är en fuskväg ut. För att säga att SO (n) var en grupp måste jag bevisa att detta var sant! Det kan också visas uttryckligen från följande allmänna egenskaper för transponeringen och determinanten:
- (AB) ^ T = B ^ TA ^ T
- \ text {det} (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B)
Vi konstruerar därför en matris C = AB, där A och Bare medlemmar av SO (n) .
Vi överväger sedan:
- C ^ TC = (B ^ TA ^ T) (AB) = B ^ T (A ^ TA) B = B ^ TB = {1\_n}
- Eftersom A ^ TA = 1\_n och B ^ TB = 1\_n, och associeringsförmågan för matrixmultiplikation.
- \ text {det} (C) = \ text {det } (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B) = 1 \ gånger 1 = 1
Vi ser därför att C är en ortogonal matris med determinant – dvs den är medlem av SO (n) och därmed en rotationsmatris.
Vi har därför visat att SO (n) (och faktiskt O (n)) bildar en grupp som är stängd under matrixmultiplikation, och följaktligen är sammankopplingen av flera rotationer per definition i sig en rotation.
Vi har därför bevisat Eulers rotationssats.