Bästa svaret
Två kvantiteter finns i gyllene förhållandet om deras förhållande är detsamma som förhållandet mellan deras summa och den större av de två kvantiteterna.
Om vi nu låter a och b (b> a) vara två kvantiteter i det gyllene förhållandet, då, p>
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a + b} {b} \ overset {\ mathrm {def} ^ n} {=} \ varphi \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} +1 \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {1} {\ frac {b} {a}} + 1 \ tag * {}
\ varphi = \ dfrac {1} {\ varphi} +1 \ tag * {}
\ varphi ^ 2- \ varphi-1 = 0 \ tag * {}
Quadratic Formula avslöjar att,
\ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ approx 1.618 \ tag * {}
(Den andra lösningen ger \ frac {a} {b} eller \ varphi ^ {- 1} )
Som andra har nämnt, ungefär förhållandet mellan två på varandra följande Fibonacci-tal också \ varphi.
I själva verket för alla sekvenser som uppfyller återfallsrelationen (med frövärden A\_0, A\_1 inte båda 0 eftersom det skulle bli en konstant sekvens ),
A\_n = A\_ {n-1} + A\_ {n-2} \ tag * {}
Gränsen för \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1}} när n \ till 0 närmar sig \ varphi .
Detta kan bevisas genom att låta L vara gränsen,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1 }} \ tag * {}
Med upprepningen,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-1} + A\_ { n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-2}} {A\_ {n-1}} \ tag * {}
L = 1 + \ lim \ limit\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {\ frac {A\_ {n-1} } {A\_ {n-2}}} \ tag * {}
L = 1 + \ dfrac {1} {L} \ tag * {}
Återigen genom att multiplicera med med L och med den kvadratiska formeln kan du visa att
L = \ varphi \ tag * {}
Svar
Konstruktion med kompass och linjal
Scott Beach utvecklade ett sätt att representera denna beräkning av phi i en geometrisk konstruktion:
Som Scott delar på hans webbplats: Triangle ABC är en rätt tria ngle, där måttet på vinkel BAC är 90 grader. Längden på sidan AB är 1 och längden på sidan AC är 2. Pythagorasatsningen kan användas för att bestämma att längden på sidan BC är kvadratroten på 5. Sidan BC kan förlängas med 1 längdenhet för att fastställa punkt D. Linjesegment DC kan sedan halveras (dividerat med 2) för att fastställa punkt E. Längden på linjesegmentet EC är lika med Phi (1.618 …).
Phi nomenal!
Källa: http://www.goldennumber.net/phi-formula-geometry/