Bästa svaret
”Omkretsen” för en sluten form är helt enkelt summan av längderna på alla dess gränser. En ”sektor” (av en cirkel) begränsas av en båge och två radier, så omkretsen är två gånger radien (r) plus bågens längd. Bågen är en del av cirkelns omkrets, vilket är två-pi gånger radien.
Därför är allt vi behöver veta radien och bråkdelen av omkretsen (2 * pi * r) vid bågen. Den fraktionen är densamma som vilken bråkdel av cirkelns område som sektorn upptar, vilket är detsamma som vilken bråk den centrala vinkeln tar ut ur 360 grader (eller 2-pi radianer).
Om den centrala vinkeln (vid sektorns punkt) är ”theta”, då är bågen omkretsen (pi * 2 * r) gånger den fraktion som gjorts av theta-grader / 360-grader (eller theta-radianer / 2-pi radianer) .
Till exempel, om theta är 90 grader, är bågen en fjärdedel av cirkeln med en längd på: (1/4) * 2 * pi * r, så att omkretsen är den båglängden plus 2 * r (för sidorna som bildas av radier).
Om theta är pi / 6 radianer (30 grader) är bågens längd (30/360) * 2 * pi * r, så att sektorns omkrets är = r * [2 + pi / 6].
Allmänna formler för en sektor, med theta uttryckt i grader skulle vara:
- [2 + (2 * pi) * theta (grader) / 360] * r
Om theta uttrycks i radianer blir formeln:
- [2 + theta ( radianer)] * r
Svar
Vi vill ha formeln för omkretsen av ett segment av en cirkel.
Tänk på segmentet ABC för en cirkel med centrum O med radien r.
Låt \ vinkel AOB = \ theta.
\ Rightarrow \ qquad Längden på bågen ACB = r \ theta.
\ triangel AOB är jämn.
\ Rightarrow \ qquad Projektionen av både OA och OB på AB är r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right).
\ Rightarrow \ qquad Längden på ackordet AB = 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ höger).
Omkretsen av segment ABC är summan av bågen ACB och ackordet AB.
\ Rightarrow \ qquad Omkretsen för segmentet ABC = r \ theta + 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right).