Bästa svaret
George Gamow förklarar hur Galileo kom fram till denna formel i sin bok ”Gravity”.
Galileo studerade fallande kroppar. Han ville veta det matematiska förhållandet mellan den tid det tar av ett objekts fall och det täckta avståndet. Så han gjorde ett experiment.
Han byggde ett lutande plan. Sedan lät han kulorna av olika material rulla ner på planet (han tryckte inte på dem). Han mätte avstånden som bollen täckte i slutet av 1: a, 2: a, 3: e och 4: e sekunden. Han kunde ha ordnat det fria bollfallet direkt. Men fritt fall är ganska snabbt och han hade inte bra klockor vid den tiden. Genom att utföra experiment på lutande plan minskade han tyngdkraften som verkade på kulan och ökade tiden för att nå botten vilket beror på lutningen på det lutande planet. Följande bild förklarar detta:
Från figuren kan vi visa att,
[matematik] \ frac {mgsin (a)} {mg} = sin (a) = \ frac {x} {z} [/ matematik].
Därför mindre x, mindre blir rörelsen som orsakar kraft och mer blir den tid det tar för bollen att nå botten. Galileo fann att avstånden som täcktes av bollen i slutet av 2: a, 3: e och 4: a sekunden var 4, 9 respektive 16 gånger det avstånd som täcktes i slutet av 1: a sekunden. Detta visar att bollens hastighet ökar på ett sådant sätt att avståndet som täcks av bollen ökar när kvadraterna för restiden. Nu var frågan hur man kan relatera hastighet till den tid som anges ovan förhållandet mellan avstånd och tid. Galileo sa att den här typen av avstånd-tid-förhållande endast kan erhållas när hastigheten på bollen är direkt proportionell mot tiden. Följande bild visar hastigheten mot tidsplanen för ovan nämnda experiment och Galileos uttalande:
I figuren ovan, punkt A motsvarar en nollposition för kulan (högst upp på lutande plan) och punkt B motsvarar en kul med hastighet v vid slutet av tidsintervallet t. Vi vet att området för triangel ABC ger oss det avstånd som täcks av bollen , s, i tidsintervall (0, t). Därför är det täckta avståndet,
s = \ frac {1} {2} vt.
Men enligt Galileos argument är v direkt proportionellt mot t dvs v = vid där a är acceleration.
[matematik] s = \ frac {1} {2} vt = \ frac {1} {2} vid ^ 2. [/ matematik]
Så det täckta avståndet ökar som tidens kvadrat som var vår experimentella observation. Denna formel ger avstånd täckt när det inte ges någon initial hastighet till bollen. Men när bollen har en viss initialhastighet, u, läggs termen ”ut” till ovanstående formel som är det avstånd som täcks i tid t vid hastighet u. Denna term kommer bara att öka avstånden som uppmätts i vårt experiment men bibehålla samma förhållande mellan avstånd och tid. Därför är den slutliga formeln:
s = ut + \ frac {1} {2} vid ^ 2.
Svar
När du försöker bevisa något relaterat till positiva heltal, bör din första tanke vara induktion. Problemet är att det inte finns något direkt uppenbart sätt att gå vidare. Vi vill kunna lägga till något på båda sidor av ojämlikheten, men då skulle gränsen på höger sida öka.
Tricket till detta problem är att faktiskt göra den bundna starkare än den för närvarande är. Så vi kommer att bevisa det relaterade uttalandet
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {n}
för alla positiva heltal n \ geq 3. Det ursprungliga uttalandet följer av låter n närma sig oändligheten.
Observera att vi för alla positiva heltal k har
\ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {(k + 1 ) ^ 2}> \ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {k (k + 1)} = \ dfrac {k} {k (k + 1)} = \ dfrac {1} {k + 1}.
Att veta detta kan vi fortsätta med induktion.
Eftersom \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} = \ dfrac {13} {36} dfrac {5} {12} = \ dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {3}, basfallet n = 3 är sant.
Antag nu att uttalandet är sant för vissa k, nämligen att
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} { 4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k}.
Vi vill visa att uttalande gäller också för k + 1. För att göra detta, lägg till \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} på båda sidor:
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2}.
Från den ojämlikhet som vi visade ovan förenklar detta till
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k + 1},
vilket är precis vad vi ville bevisa.
Därför gäller det modifierade uttalandet för principen för matematisk induktion för alla heltal n \ geq 3, så det ursprungliga uttalandet är också sant.
EDIT: Som Predrag Tosic påpekade i kommentarerna, när vi tillåter n att närma sig oändligheten, måste tecknet ändras till en \ leq i om de två sidorna av ojämlikheten konvergerar till samma värde.Detta kan dock åtgärdas genom att i stället bevisa ojämlikheten
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ epsilon – \ dfrac {1} {n}
för något litet värde av \ epsilon ( säg \ dfrac {1} {100}), som när n närmar sig oändlighet skulle resultera i
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \ leq \ dfrac {3} {4} – \ epsilon,
från vilket önskat uttalande följer.