Bästa svaret
Gavin Song har redan gett dig ett bra svar, men jag ska göra mitt bästa för att ge dig ett alternativ sätt att titta på detta problem med hjälp av Calculus.
Fakta: Vilken 2D-ellips som helst kan parametriseras när
\ begin {align *} y (t) & = a \ sin (t) \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {align *}
Där 0 \ leq t \ leq 2 \ pi och a och b är semi-minor och semi-major axlar (aka de vertikala och horisontella radierna).
Tänk på att en punkt har en förändring i x-axeln och en annan i y-axeln, säg \ Delta y och \ Delta x. Med hjälp av Pythagoras sats vet vi att längden mellan punktens ursprungliga och slutliga position ges av (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2}. Enkelt, eller hur?
Använd den logiken nu på den parametriserade ellipsen. För att approximera ellipsens omkrets kan vi ”följa” en punkt på ellipsen längs flera steg i t, mäta längden mellan dess platser vid varje intervall och lägga till dem i slutet. Om du försöker göra det själv kommer du att märka att mätningen blir mer och mer exakt om vi överväger mindre och mindre intervall. Så för att få den sanna omkretsen kan vi utföra denna process i oändligt små intervall, vilket skulle ge oändligt små förändringar i x och y, säg dx och dy. Detta motsvarar att utvärdera följande integral:
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
Låt omkretsen uttryckas som l. Om vi använder parametriseringen från tidigare kan vi uttrycka detta som
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy } {dt} \ Big) ^ 2 + \ Big (\ frac {dx} {dt} \ Big) ^ 2 \ Big) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {align *}
Det finns dock en hake. Denna integral har ingen symbolisk lösning om inte a = b (vilket elegant ger oss formeln för en cirkels omkrets), så vårt enda alternativ är att använda numeriska metoder för att få en bra approximation. Detta kan vara antingen intressant eller nedslående för dig, men hur som helst hoppas jag att det hjälpte.
🙂
Svar
Om du kommer att bära med mig kommer jag överväga denna fråga i omvänd ordning.
Antag att en cirkel och en ellips har lika stora ytor.
Min fråga är ”Har de samma omkretsar?”
(Observera att när a = b = r är formeln densamma som cirkelns område.)
Omkretsen för en cirkel är 2πr
En ellipsens omkrets är mycket svår att beräkna!
Människor har försökt hitta formler för att hitta omkretsen av en ellips men de flesta försök är bara approximationer.
Vissa metoder innebär till och med att summera oändliga serier!
Den berömda indiska matematikern Ramanujan utarbetade en mycket bra formel som är ganska exakt.
Observera att om a = b = r blir ellipsen en cirkel och ovanstående formel ändras till formel för cirkelns omkrets C = 2πr .
Om vi byter ut detta till hans formel får vi:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Låt oss överväga ett särskilt exempel där cirkeln har en radie på 6 cm och en ellips har huvudaxeln 9 cm och mindre axel 4 cm.
Cirkelområde = π × 6 × 6 = 36π kvadratmeter
Område för ellips = π × 9 × 4 = 36π kvm cm
————————————————— ——————————
Cirkelns omkrets = 2πr = 12π cm
Ellipsens omkrets med Ramanujans formel är:
————————————————————————————————— ————
Slutsats, om cirkeln och ellipsen har samma område har ellipsen en större omkrets än cirkeln .