Bästa svaret
Det finns några sätt att lösa en kvadratisk ekvation. Du kan använda Add-In solver-funktionen. Jag är inte så bekant med hur det fungerar, men det är ett förslag för dig.
Andra sätt som jag är bekant med är att skapa en tabell eller grafera den.
Antag att vi har enkel ekvation: 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Nu vet vi att om vi räknar ut detta får vi (x + 5) (x + 2) = 0 betyder detta x = -2, -5. Men samtidigt kan vi använda detta som en guide för att se hur vi kan kontrollera vår lösning i Excel.
Det första vi kan göra är att skapa en Excel-tabell. Vad jag gillar att göra är att ställa in en Excel-tabell. Jag har x-värdena i det vänstra intervallet från -50 till 50. Därefter kan jag helt enkelt koppla in ekvationen som sådan:
= [@x]*[@x] + 7*[@x] + 10
eller
=power([@x],2) + 7*[@x] + 10
[@x] är i grunden cellreferensen för x-värdena i kolumnen (jag ger dig en bild om hur detta fungerar inom kort).
Om du tittar på ekvationen vi fick tidigare, 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Vad detta betyder är att vi ställer in y = 0 (eftersom hela ekvationen är y). Detta innebär att vi, i termer av Excel-tabellen, måste leta efter x-värden på vänster sida som kommer att ha en 0 nästa totfåll i y-kolumnen. Observera nedan:
Om du märker har vi två värden som har en noll bredvid sig, -2 och -5. Dessa är ekvationens lösningar.
Ett annat exempel skulle vara att rita din ekvation. Här kan vi använda vår Excel-tabell som seriedata för att plotta punkterna.
Att plotta punkterna i diagrammet gör det inte uppenbart direkt. Så du kan behöva justera minsta och högsta axel. I min graf justerade jag x-axeln så att de sträcker sig från -10 till 5 och y-axeln från -10 till 10.
Om du märker, korsar diagrammet x = -2 och korsar runt x = -5. Så vi kunde också lösa ekvationen grafiskt.
Svar
Jag tar för hårt du menar ”svårt att faktorisera”. Låt oss överväga ett allmänt uttryck för ax ^ 2 + bx + c.
För att ”lösa” detta sätter vi detta lika med 0, och så får vi ax ^ 2 + bx + c = 0. Hitta x är din plikt.
Gud, det skulle verkligen vara till hjälp om det fanns en enkel lösning som fungerade för allmänna koefficienter. Tur för oss finns det, och det är något lätt att hitta (försök inte göra detta med kubiska ekvationer eller högre, du kan försöka hitta det, men det är MYCKET svårt att hitta på denna nivå).
Så vi vill fundera över detta noggrant. Vad är problemet med att lösa för x här?
I en normal linjär ekvation, som ax + b = 0, är det enkelt. x är en förekomst. Problemet med kvadratik är att det irriterande axeln ^ 2 + bx-formatet, eftersom vår strategi att subtrahera en konstant och dela för att få x inte fungerar, vi måste tappa den, och vi kan inte enkelt använda factoring, eftersom det kommer alltid att finnas ett x -underskott på ett om vi försöker räkna ut med x eller x ^ 2.
Jävla, vad gör vi här då? Vi har en kvadratdel, det måste betyda att vi på något sätt måste få något i kvadrat, som (?) ^ 2 = gx ^ 2 + hx + e, där vi senare kan lägga till som f för att vara en konstant som vi lätt kan subtrahera ut som vår linjärt ekvationsexempel. Det är uppenbart att? måste innehålla en singular x någonstans, men vi måste också lägga till en konstant i x-delen, eftersom fördelningsegenskapen kommer att förvirra konstanten med x, och göra det också med x och sig själv, och en konstant, vilket skapar en singular x, utan exponent. Vi kommer då att kunna kvadratrota alla konstanter vi har på andra sidan och sedan lösa det som en linjär ekvation.
Så, låt oss komma i nämnda position.
Låt oss vi delar vår ursprungliga ekvation på båda sidor med a så att jag kan få en ”ren” x ^ 2 och inte behöver använda \ sqrt {a} som en koefficient som blir mer komplicerad.
Vi får x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + c / a = 0.
Okej, så vår form av? måste vara x + k eftersom det inte kan finnas en koefficient på x som inte är en eftersom distribution inte skulle ge ett ”rent” x ^ 2. Vad är k då? Tja, låt oss tänka här lite – vi vill tvinga på ett sätt att få hx = \ frac {b} {a} x. När jag kvadrerar något, och det har två termer som läggs till, måste jag använda distribution för att gå styckvis. Eftersom när jag kvadrerar det multiplicerar jag denna kvantitet (de två termerna som summeras) av sig själv, kommer jag som nämnts att få x ^ 2 från x-termen, en konstant från k-termen, men också kx genom att gå igenom k in den första kvantiteten som multiplicerar x i den andra och x och k åt andra hållet, men jag lägger till dessa för att få 2kx. [för att se detta, skriv (x + k) (x + k), fördela för att få (x + k) x + (x + k) k. Distribuera det nu och rita vägarna för att få x ^ 2 + kx + kx + k ^ 2, vilket ger x ^ 2 + 2kx + k ^ 2]
Så, oavsett vad denna k är vi måste ha 2kx = \ frac {b} {a} x men det betyder k = \ frac {b} {2a}. Ok, NU kommer vi någonstans.Kom ihåg det faktum att vi kvadrerar, vissa (x + k) ^ 2, och när jag expanderar detta get (x + k) (x + k), kommer jag att följa en multiplikationsväg genom distribution. En sådan väg jag måste följa är k gånger k, men vi vet redan vad k är, så vi måste ha lite konstant k ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}. Så, låt oss bara lägga till det på båda sidor, vilket vi kan göra, eftersom det är konstant, och vi bryr oss inte om vilken konstant vi får på den andra sidan, vi vill bara ta hänsyn till denna röra ordentligt.
Så vi gör just det och får
x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Och nu har vi alla termer som gör att vi kan faktorisera detta till ett (x + k) ^ 2 = Konstant format, precis vad vi ville ha! Vi hittade k för att vara \ frac {b} {2a}, så vi tar bara ut detta.
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Nu vill vi snygga den här röran, märker att vi så småningom kommer att kvadratrot när vi subtraherar konstanterna, och vi har på en term en nämnare på 4a ^ 2, som är mycket lätt fyrkantig. Låt oss göra c / a kompatibelt med detta genom att multiplicera det med 1, som inte ändrar något, men 1 = 4a / 4a. Vi behöver inte oroa oss för a = 0 eftersom om det vore, skulle vi ha en linjär ekvation, vilket inte är vad vi fokuserar på.
Så vi får (x + \ frac {b } {2a}) ^ 2 + 4ac / 4a ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Bra, så dra nu ut den andra termen eftersom de har gemensamma nämnare, och vi få
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}
Och höger sida är konstant nu , vi kan enkelt rota båda sidor!
Vi får
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a }
Detta är inte riktigt korrekt, eftersom vi måste inse att när jag kvadrerar ett positivt tal, d ^ 2, d kan vara positivt eller negativt. Så för gott mått lägger vi till ett plus- eller minustecken och vi får
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} { 2a}
Och vi kan nu subtrahera det k, eftersom vi nu har en linjär ekvation att lösa, som vi ville ha, och vi får
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}