Bästa svaret
Börja med lösningen. Om du till exempel vill att lösningen ska vara x = 1 skulle motsvarande faktor vara x – 1. Eftersom det är den enda lösningen måste det vara båda faktorerna, vilket gör ekvationen
( x – 1) (x – 1) = 0
eller
x ^ 2 – 2x + 1 = 0
Svar
Lösningarna i en kvadratisk ekvation är de två punkter där diagrammet korsar x-axeln. Det vill säga det är de två värdena på x som gör y noll i diagrammet.
Vi får dessa poäng genom att ta med ekvationen. Först skriver vi om ekvationen till formen 0 = ax ^ 2 + bx + c.
Om det är tillräckligt enkelt kan vi faktorera höger sida genom att ögonblåsa det. Om ekvationen till exempel är: 0 = x ^ 2 + 7x + 12, med viss övning kan du känna igen att faktorerna är 0 = (x + 3) (x + 4).
Anledningen factoring är så viktigt är faktum att om produkten med två siffror är lika med noll, MÅSTE en av termerna vara noll. Eftersom vi har 0 på vänster sida och en produkt på höger sida (x + 3) (x + 4) måste en av dessa termer vara noll.
Så antingen x + 3 = 0 eller x + 4 = 0. Vi kan lösa för x i båda fallen och vi får x = -3 eller x = -4. Det betyder att diagrammet för vår ekvation korsar x-axeln vid två punkter, -3 och -4, så diagrammet för denna ekvation är en parabel (alla kvadratiska ekvationer är parabolor) förskjutna åt vänster och ner, så de två parabollens armar korsar x-axeln vid -3 och -4.
Ibland är det inte lätt att ta hänsyn till ekvationen genom att kasta ögon. Vi kan använda den kvadratiska formeln i så fall. (Det är väldigt kul att härleda den kvadratiska formeln – om du inte vet hur och vill att jag ska visa dig, fråga bara.)
Här är den kvadratiska formeln:
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a}
För att testa det, om vi kopplar in a, b och c från vår ekvation, 0 = x ^ 2 + 7x + 12, sedan a = 1, b = 7, c = 12, och ansluta till formeln får vi:
x = \ frac {-7 \ pm \ sqrt {7 ^ 2 – 4 (1) (12)}} {2 (1)}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {49 – 48}} {2}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {1}} {2}
= \ frac {-7 + 1} {2} och \ frac {-7 – 1} {2}
= \ frac {-6} {2} = -3 och \ frac {-8} {2} = -4. Så det fungerade!
Okej, allt som är inledande för din fråga. Din fråga är, när är lösningarna på en kvadratisk ekvation oändlighet. Låt oss tänka på vad det betyder. Först och främst är det uppenbart att det inte är möjligt att ha en lösning i oändligheten men den andra lösningen ändlig. Om så vore fallet skulle vi ha ett ändligt antal gånger oändlighet, som inte kan vara lika med noll.
Så frågan är, är det möjligt för båda lösningar för att vara oändlighet? Hur skulle detta se ut?
I den kvadratiska formeln skulle det enda sättet att göra det oändligt vara om a = 0. Då skulle nämnaren vara noll och därmed hela ekvationen vara ”oändlighet”. Men om a = 0, är ekvationen inte längre kvadratisk, den är linjär, eller hur? Exempelvis är 0 = 0x ^ 2 + 7x + 12 samma som 0 = 7x + 12. Det är bara en linje, den är linjär, inte kvadratisk. Men varje linje passerar x-axeln någonstans, eller hur? Den enda gången det inte är när den är parallell med x-axeln. Det vill säga när den har en lutning på 0. Det betyder att b = 0. Så nu har vi 0 = 0x ^ 2 + 0x + c. Med andra ord, 0 = c. Men då är c = 0.
Med andra ord finns det ingen sådan ekvation. Som det andra svaret sa, passerar alla kvadratiska ekvationer x-axeln vid en ändlig punkt. (Lägg märke till att dessa punkter inte nödvändigtvis är verkliga! Om b ^ 2 – 4ac är negativ, har ekvationen faktiskt imaginära rötter. Men de är ändå ändliga.)