Bästa svaret
En matrisomvandling sker på om och endast om matrisen har en vridposition i varje rad. Radminska det och kontrollera sedan om antalet pivoter är lika med antalet rader.
Okej, med det ur vägen måste jag göra min rant nu.
Varje gång någon tillämpar adjektivet ”på” eller ”linjärt oberoende” på en matris, kryper jag lite. Det är ett kategorifel. Vänligen säg, ”Hur vet du om en matris transformation är på?”
Ser du, terminologi är mycket viktigt i matematik . Det fina med linjär algebra är att med tanke på ett linjärt system eller linjär transformation kan du skriva ner en matris, som bara är en rektangel med siffror i den, associerad med det linjära systemet eller linjära transformation. Att göra olika saker med siffran ger dig sedan tillbaka all slags information om det ursprungliga systemet eller omvandlingen. Linjär algebra är främst studien av dessa relationer. Men de flesta linjära algebraelever, när de använder terminologi felaktigt, avslöjar att de inte riktigt förstår hur det faktiskt finns separata begrepp att relatera till.
Adjektivet ”på” gäller helt enkelt inte matriser. Det här är som att fråga, ”Hur kan du se om en säng är sömnig?” Det faktum att du ställer den här frågan innebär att du inte förstår vad sömnig betyder eller vad säng betyder, eller båda.
Här är ett fuskark med huvudtyperna av objekt som påträffas i linjär algebra, tillsammans med några av de vanligaste terminologierna som används för att beskriva dem:
För matriser A, B är följande fraser inte gibberish:
– A är i (rad echelonform / reducerad rad echelonform)
-pivot (positioner / rader / kolumner ) av A;
-A är (kvadratisk / diagonal / inverterbar / övre triangulär / nedre triangulär)
– (Rank / Determinant / Eigenvalues / Eigenvectors / Characteristic polynomial) of A
– (null space / column space) of A;
– A är (radekvivalent / liknande) till B
-Matrixtransformationen \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x
Om A x = b är ett system med linjära ekvationer , följande fraser är inte gibberish:
– (Lösning / Lösningsuppsättning / Allmän lösning) av systemet
-Systemet har (en unik lösning / inga lösningar / oändligt många lösningar / n fria variabler)
-Systemet är (konsekvent / inkonsekvent / underbestämt / överbestämt)
– (Koefficientmatris / Augmented matris) för systemet
Om T: \ mathbb R ^ n \ mapsto \ mathbb R ^ m är en linjär transformation , följande fraser är inte gibberi sh. Observera att om A är en matris, så kan man tala om matristransformation \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x, vilket är en linjär transformation.
– (Domain / Codomain / Range) of T
– T är (på / en-till-en / inverterbar)
-Standardmatris för T; matris för T med avseende på baser \ beta\_1, \ beta\_2
– (Rank / Determinant / Eigenvalues / Eigenvectors / Characteristic polynom) av T
Om S = \ {v\_1, v\_2, \ ldots, v\_n \} är en uppsättning vektorer i \ mathbb R ^ m , följande fraser är inte gibberish. Observera att om A är en m \ times n-matris, så bildas kolumnerna i A en sådan uppsättning.
– S är linjärt (oberoende / beroende)
-Span av S
-S (spänner över V / är en grund för V ), där V är ett delutrymme av \ mathbb R ^ m
Svar
En ändlig dimensionell kvadratmatris är på precis om dess determinant är icke-noll. Du kan kontrollera detta mest effektivt med Gaussisk eliminering.
Mer allmänt finns en ändlig rektangulär matris på bara om dess transponering är injektiv, vilket inträffar bara om den ursprungliga matrisens rader (eller kolumner, beroende på vilken konvention du använder för inmatningen och vilka utdata som är linjärt oberoende, det vill säga matrisen har full radrankning. Återigen är Gaussisk eliminering din vän: sätt matrisen i rad echelonform och kontrollera om den nedre högra posten är noll (motsvarande, om det finns några rader med alla nollor. Matrisen är till om och endast om den nedre högra posten är noll.