Bästa svaret
Det kan besvaras på tre sätt.
- 2,00,00,000 – Det här är 2 crore. Antal nollor är 7.
- 2 Crore – Inga nollor här. Endast 2 och Crore, fortfarande crore har o i det kan inte betraktas som noll.
- 2,00,00,000 betyder, nollor som är i siffror ller = 2,00,00,000 det går från en intervall av negativ oändlighet till 2 crore. Superdatorer kan inte heller beräkna antalet nollor i det ovannämnda intervallet.
Svar
Frågan ”Varför höjs något tal till kraften noll lika med en men noll höjd till noll ger inget svar? ” är självmotsägande. Den hävdar att valfritt tal (utan att ange vad som utgör ett tal) höjs till en exponent av 1 utan något undantag (t.ex. via text som ”valfritt tal utom \_\_\_”), och fortsätter sedan att hävda att 0⁰ ”ger inget svar”. Eftersom 0 är ett tal betyder det första påståendet 0⁰ = 1 medan det andra påståendet säger 0 är odefinierat – vi kan inte ha båda sanna.
Det första påståendet borde faktiskt betraktas som ovillkorligt sant och det andra påståendet som falskt; därför 0⁰ = 1.
De vanliga argumenten som kräver att 0⁰ ska betraktas som odefinierad:
- 0⁰ = 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹ = 0/0, vilket är odefinierad, så 0⁰, som har visats vara lika med 0/0, måste också vara odefinierat. (Något positivt värde kan ersättas med 1.) Detta försöker använda en uppdelningslag, men det är ett ogiltigt försök. Den relevanta delningslagen är inte bara x ^ {a-b} = \ frac {x ^ a} {x ^ b}, men den har begränsningar eller villkor som måste anges och följas. En av de många restriktionerna är att ingen del av tillämpningen av denna uppdelningsrätt är tillåtet att involvera en uppdelning med 0 eller en ömsesidighet på 0. Den begränsningen har överträtts, så vi får inte skriva 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹. Eftersom jämställdheten för mittsteget inte håller kan vi inte säga att den vänstra änden är lika med den högra änden. Samma ogiltiga argument kan användas för att bevisa att 0³ är odefinierad, vilket vi vet är nonsens: 0¹ = 0 per definition av exponent 1; 0² = 0¹⁺¹ = 0¹ × 0¹ = 0 × 0 = 0; 0⁴ = 0²⁺² = 0² × 0² = 0 × 0 = 0; 0³ = 0⁴⁻¹ = 0⁴ / 0¹ = 0/0, vilket är odefinierat.
- x ^ 0 = 1 för alla icke-nollor x . 0 ^ x = 0 för alla icke-noll x . Om vi låter x = 0, skulle ovanstående påståenden innebära 0⁰ = 1 och 0⁰ = 0, vilket är en motsägelse, så 0⁰ måste vara odefinierad. När människor gör detta argument pausar de inte tillräckligt länge för att tänka på vad de säger. Det andra uttalandet är giltigt för och endast positivt verkligt x . Det är fel att säga ”för alla icke-nollor x ” för det andra förhållandet. Det första förhållandet är dock giltigt för negativ verklig x liksom för positiv verklig x , plus, utöver det, är det första förhållandet sant för alla icke-nollkomplex och kvaternion x , något som det andra förhållandet inte kan säga. Det är inte meningsfullt att ge samma vikt till ett fall som fungerar för endast positiva verkliga värden till ett fall som fungerar för alla icke-nollverkliga, komplexa och kvaternionsvärden – den mycket bredare generaliteten hos den senare är värt mycket. För det andra förhållandet är x = 0 fallet i fråga en gräns mellan meningsfulla fall och icke-meningsfulla fall, så varför skulle vi anta att de meningsfulla fallen är de som gäller och att de gäller utan justering?
- Gränsen för x ^ y som x och y oberoende tillvägagångssätt 0 existerar inte eftersom trendvärdet beror på inställningsvägen för x och y mot 0 – det finns ett brett band av möjliga värden. (Ibland kombineras detta argument med # 2 ovan.) Problemet med detta argument är att huruvida en funktion är definierad vid en punkt och, i så fall vad är värdet, är oberoende av om funktionen har en gräns som närmar sig den punkten och i så fall vad är gränsvärdet. Det är fullt möjligt att ingen av dem existerar; det är mycket möjligt att den ena existerar men inte den andra; det är mycket möjligt att båda finns, i vilket fall de två värdena kanske eller inte är desamma. Som ett resultat av det faktum att x ^ y inte har en gräns som x och y tillvägagångssätt 0 säger inget om huruvida 0⁰ är definierat eller odefinierat. Diskussionen om gränser med avseende på om 0⁰ har ett värde är helt irrelevant.Signum-funktionen är ett exempel på en funktion med en vägberoende gräns som x närmar sig 0 men sgn 0 definieras – i synnerhet sgn x definieras som 1 för positiv real x , 0 för x = 0 och −1 för negativ verklig x , så x närmar sig 0 från vänster ger en gräns på −1 och x närmar sig 0 från höger ger värdet 1, med konflikten som betyder att gränsen inte existerar, även om sgn 0 = 0. En sådan brist på begränsning motiverar oss inte att säga att sgn 0 måste vara odefinierad.
Det har de vanligaste argumenten som används för att motivera betraktar 0⁰ som odefinierat, så det väcker nu frågan om vilket, om något, värde ska 0⁰ definieras som?
Det grundläggande argumentet innefattar principen om nulloperation tillämpad på multipl isbildning. Produkten av inga faktorer måste betraktas som den multiplikativa identiteten 1; symboliskt, \ prod\_ {i = 1} ^ {0} x\_i = 1. (För beräkning av x ⁰, x\_i = x; för beräkning av 0 !, x\_i = i.) Den här egenskapen beror inte på om alla kandidater x\_i är icke-nollor, eller vissa är icke-nollor och vissa är 0 eller alla är 0. Det finns inga undantagsfall. Således har vi 0! = 1 och vi har x ⁰ = 0 utan begränsning för alla kvaternioner (inte bara alla reella tal, inte bara alla komplexa tal), så 0⁰ = 1.
Det andra viktiga kriteriet är användbarhet. Matematiker definierar saker eftersom de är användbara för sin forskning. Om en definition inte är användbar är det ingen mening att göra den, så är 0⁰ = 1 faktiskt användbart, förutom från tom-produktregelns synvinkel? Svaret är ett rungande ja. Ta kraftserien för \ text {e} ^ x: \ text {e} ^ x = \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ i} {i!}. Matematiker har bevisat att denna kraftserie konvergerar för alla komplexa tal x och att resultatet verkligen är \ text {e} ^ x. Eftersom 0 är ett komplext tal och denna kraftserie fungerar för alla komplexa nummer måste den fungera för x = 0. Låt oss först utvidga summeringen: \ text {e } ^ x = \ frac {x ^ 0} {0!} + \ frac {x ^ 1} {1!} + \ frac {x ^ 2} {2!} +…. Så vad händer för x = 0? Vi har: \ text {e} ^ 0 = \ frac {0 ^ 0} {0!} + \ Frac {0 ^ 1} {1!} + \ Frac {0 ^ 2} {2!} +….
Vi vet att 0 som höjs till en positiv exponent är 0, vilket gäller för alla termer utom den första på höger sida av =; alla dessa termer gör ingenting så att de kan försvinna. Vi vet också att alla icke-noll-komplexa tal som höjs till en exponent av 0 är lika med 1, och e är ett icke-noll-komplext tal, så \ text {e} ^ 0 = 1. Därför har vi nu: 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!}. Matematiker är överens om att 0! = 1 (tom produktregel). Därför är 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!} = \ Frac {0 ^ 0} {1} = 0 ^ 0. Titta på vad vi just bestämt: 0⁰ = 1. För att denna kraftserie ska fungera måste vi antingen ha 0⁰ definierad som 1 eller skriva en speciell varning med den kraftserie som den gäller för, och endast för icke-nollkomplex x och anger uttryckligen separat att e⁰ = 1. Varför gör en sådan onödig komplikation att uttrycka kraftserien bara för att undvika att definiera 0⁰ = 1 utan någon materiell anledning?
p> Samma sak gäller för många andra kraftserier, för polynomier, för binomialteorem, för olika kombinatoriska problem och för andra tillämpningar. Det finns många fall av betydande förenkling och generalisering som inträffar då definierar vi 0⁰ = 1.
Det finns inga fall för vilka det är bra att betrakta 0⁰ som definieras som något annat värde än 1 eller till betrakta 0⁰ som odefinierat. Den närmaste situationen som uppstår är i vissa situationer i forskning i verklig analys, var är det bra att ha funktioner kontinuerliga i hela deras domän. På grund av problemen med gränser för x ^ y närmar sig (0; 0), gör det x ^ y diskontinuerligt vid (0; 0), oavsett om 0⁰ i sig är definierat och i så fall till vilket värde. Att dra ut en punkt från domänen betraktar faktiskt funktionen som odefinierad vid den punkten. Men bara för att det är bra att dra (0; 0) ur domänen x ^ y för din forskning, betyder det inte att sådant måste göras i alla aspekter av matematiken. Jag kan behöva hantera bijective-funktioner för att stödja inverterbarhet. Om jag arbetar med x ² och behöver invertera, måste jag begränsa domänen till något som en uppsättning icke-negativa reella tal, vilket betyder för mina ändamål att (- 3) ² är odefinierad, vilket skulle vara en löjlig begränsning att påtvinga dig; På samma sätt betyder vissa matematiker som behöver 0⁰ odefinierat inte att det är en begränsning som åläggs alla matematiker.Faktum är att tomproduktregeln råder i sammanhanget med heltalsexponenter, medan problem med kontinuitet endast förekommer i samband med verkliga exponenter. En möjlig lösning är att betrakta 0⁰ = 1 när exponenten är ett heltal 0 men odefinierad är exponenten en riktig 0; om detta låter konstigt för dig att svaret beror på om ett värde anses vara ett heltal kontra ett mer generellt reellt tal, är detta inte unikt för 0⁰ för effektfunktionen, eftersom (-8) ^ {1/3} är anses vara −2 om −8 betraktas som ett reellt tal, men vara 1 + i√3 om −8 betraktas som ett komplext tal. Effektfunktionen x ^ y ser så enkel ut men den har riktigt otäck beteende.