Bästa svaret
Hur stort är Rayos nummer jämfört med Grahams nummer? Det är större. Mycket större. Det var designat för att vara.
Grahams nummer är enormt. Det är så mycket större än vanliga stora siffror som ett Googolplex att förstå hur mycket större det är kan vara ganska otroligt. Men inom det enorma antalet är Grahams nummer inte exceptionellt. Det finns hela uppsättningar siffror som har uppfattats som är lika sinnesböjande större än Grahams nummer som Grahams nummer i sig är stort. Grahams nummer utformades inte, kom ihåg att vara särskilt stort; det uppstod faktiskt i ett försök att hitta en minsta övre gräns till ett matematiskt problem (och mycket mindre övre gränser har sedan dess hittats för detta problem!). Det enda som var speciellt med Grahams nummer var att vid tiden var det det största antalet som har använts i ett betydande matematiskt bevis eller härledning.
Andra nummer som lämnar Grahams nummer långt efter har sedan härletts eller använts i meningsfulla bevis. Ett exempel är TREE (3) , men det finns också många andra.
Rayos nummer skiljer sig lite från alla dessa. Ser du, Rayos nummer utformades specifikt bara för att vara ett enormt stort antal. Det är praktiskt taget per definition större än något av dessa andra nummer som vi har har pratat om. Det är så mycket hugger än någon av dem att vi inte ens vet exakt hur stort det är: men vi vet en hel del skrämmande enorma siffror som vi vet att det måste vara större än!
Uppenbarligen är inte ens Rayos nummer i någon mening ”det största antalet”. Det finns inget sådant. Vi kan alltid lägga till ett till vilket nummer som helst och få ett något större. Vi kan höja vilket nummer som helst till sin egen kraft och få en ganska större. Men Rayos nummer anses för närvarande vara det största ändliga antalet som någon har brytt sig om att ge ett namn till (exklusive triviala tillägg, som Rayos-Number-plus-one och liknande).
Svara
Rayos nummer i är mycket större.
Jag ska förklara vad Rayos nummer är, då förstår vi varför det är mycket större än Grahams nummer.
Det finns denna gamla paradox som går ungefär så här: Låt N definieras som ”Det minsta positiva heltalet som inte kan definieras i högst tolv engelska ord”.
Man kan fråga sig, vad är N?
Tja, vad N är, det är klart definierbart i högst tolv engelska ord, nämligen orden ”Det minsta positiva heltalet som inte kan definieras i högst tolv engelska ord”. Men det är en motsägelse, för per definition kan N inte definieras av tolv engelska ord.
Paradox! SpoooOoOoOky!
Upplösningen till denna paradox, utöver det faktum att ”engelska” är vagt i allmänhet, är att ”definierbar” är särskilt illa definierad. Om vilka siffror som kan definieras beror på ordet ”definierbart” vars betydelse beror på vilka siffror som kan definieras, får du en cirkulär definition som inte går att lösa.
Varför tog jag upp denna paradox?
Rayos nummer kan ses som en ”formalisering” av ovanstående; den använder matematiskt språk snarare än engelska och det gör begreppet ”definierbarhet” exakt. Rayos nummer är
”Det minsta positiva heltalet större än något ändligt positivt heltal som namnges av ett uttryck på första ordningens språk teori med googolsymboler eller mindre. ”
Första ordningens uppsättningsteori – här, vilket betyder” första ordningens logik på domänen för Von Neumann-universum , som är en modell av Zermelo – Fraenkel uppsättningsteori ”- är ett exakt matematiskt språk. Detta formellt språk har den egenskapen att det inte cirkulärt kan koda samma mening och skapa en paradox. (Du kan beskriva ZFC-axiomerna i första ordningens logik och till och med beskriva en mekanism för att utvärdera bevis och så vidare, men du kan inte skapa ett Von Neumann-universum i sig själv.)
Så, varför är det här större än Grahams nummer?
Tja, Grahams nummer är inte särskilt svårt att definiera, det kan du läs definitionen på Wikipedia och den är helt elementär, i termer av upp arr notation som definieras av exponentiering. Visst kan du koda Grahams nummer med högst, säg 10 000 symboler. Jag är konservativ här. Och Grahams nummer är inte i närheten av det största antalet som kan definieras med 10 000 symboler. Men Rayos antal är större än något nummer som kan definieras med googol = 10 ^ {100} symboler. Det är monstrously huger än Grahams nummer! Faktum är att första ordningens uppsättningsteori kan prata om Turing-maskiner, så Rayos antal är mycket större även, till exempel BusyBeaver (oavsett vilket stort antal du tänker på).