Bästa svaret
1×1
Förklaring: Antag , 1: a matrisen är av storlek a * b och 2: a matrisen är av storlek c * d (a & c motsvarar rad och b & d motsvarar kolumn).
Matrixmultiplikation mellan de två matriserna är endast möjlig om b = c och resulterande matris har storlek a * d.
Här är a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. som b = c kan vi multiplicera då och den resulterande matrisen får storlek a * d (1 * 1)
Svar
Den godtyckliga matrisen två och två är
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
Den kan ha en multiplikativ invers A ^ {- 1} med egenskapen AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, identitetsmatrisen, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.
Låt oss hitta det inversa, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}
AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}
Vi har två separerbara två och två linjära system,
ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1
Låt oss göra den första, lösa för x och z.
adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0
(ad-bc) x = d
x = \ dfrac {d} {ad-bc}
acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0
z = \ dfrac {-c} {ad-bc}
Från det andra systemet vi får
ady + bdw = 0, bcy + bdw = b
y = \ dfrac {-b} {ad-bc}
och liknande
z = \ dfrac {a} {ad-bc}
Sätter allt tillsammans vi ser
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
Kvantiteten | A | = \ det (A) = ad-bc kallas determinanten . Det är icke-noll just när matrisen har en invers. Determinanten är multiplikativ – determinanten för produkten av två kvadratiska matriser är produkten av deras determinanter.
Matrisen \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} kallas adjugate betecknat \ textrm {adj} (A).
Låt oss kontrollera att A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; Jag, matrisen som är helt noll förutom determinanten längs diagonalerna.
A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( A) \; I \ quad \ checkmark
Svaret på frågan är, om nämnaren inte är noll,
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
är den matris vi multiplicerar med
A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}
för att få identiteten.