Bästa svaret
En vanlig femkant tessellerar inte.
För att en vanlig polygon ska tessellera vertex-to-vertex, är det inre din polygons vinkel måste delas 360 grader jämnt. Eftersom 108 inte delar 360 jämnt fördelar inte den vanliga femkanten på detta sätt.
Att försöka placera en av topparna på en kant någonstans istället för på toppunkten fungerar inte av liknande skäl, vinklarna don Det matchar inte.
Det finns dock många pentagoner som tessellerar, till exempel exemplet nedan, som plattar topp-till-toppunkt. Du kan se att vinklarna på alla polygonerna runt en enda vertex summerar till 360 grader.
Kontroll av vinkeln är inte det enda nödvändiga villkoret för att se om polygoner tessellaterar, men det är väldigt lätt att kontrollera. / p>
Ingen annan vanlig polygon kan tessellate på grund av vinklarna på polygonernas hörn. För att tessellera ett plan måste ett helt antal ansikten kunna mötas vid en punkt. För vanliga polygoner betyder det att vinkeln på polygonens hörn måste dela 360 grader. För alla konvexa polygoner måste dessutom summan av de yttre vinklarna summeras till 360 grader, och för vanliga polygoner betyder det att de yttre vinklarna måste vara lika och summa till 360 grader. Detta innebär att den inre vinkeln för en vanlig n-gon är 180 ^ \ circ – \ frac {360 ^ \ circ} / n. Antalet vanliga n-gons du kan passa runt ett hörn är därför \ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} { 180 ^ \ circ n – 360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2}, och är endast möjligt när det är ett heltal .
Liksidiga trianglar har tre sidor, så du kan passa \ frac {2 (3)} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6 liksidiga trianglar runt en punkt. Tessellation är inte utesluten.
Rutor har fyra sidor, så du kan passa \ frac {2 (4)} {4–2} = 8/2 = 4 rutor runt en punkt. Tessellation är inte utesluten
Pentagoner har 5 sidor, så du kan passa \ frac {2 (5)} {5–2} = 10/3 pentagoner runt en punkt. Detta är inte ett heltal, så tessellering är omöjligt.
Hexagoner har sex sidor, så du kan passa \ frac {2 (6)} {6–2} = 12/4 = 3 hexagoner. Tessellation är inte utesluten.
Men fler sidor än så? Det är inte möjligt. Observera att \ frac {2 (n + 1)} {(n + 1) -2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2}, och att 2 < \ frac {2n} {n-2}, så för n> 6 har du 2 frac {2n} {n-2} frac {2 (6)} {6–2} = 3, så för vanliga heptagoner, oktagoner, nonagoner, etc, du kunde inte passa ett heltal av dem runt en punkt.
Detta betyder inte att det inte finns pentagoner, heptagoner, oktagoner etc som tessellaterar, bara inte vanliga pentagoner, vanliga heptagoner eller vanliga oktagoner etc.