Bästa svaret
2 + 2 =? verkar vara ett av de enklaste problemen i matematik, och förmodligen ett av de första du någonsin stött på. Om Kate har två äpplen och Matt ger henne två äpplen till, har hon fyra äpplen. Uppenbarligen.
Men vad händer om vi säger att 2 + 2 =? har stumpat till och med några av de smartaste matematikerna för att det inte nödvändigtvis behöver vara lika med 4? Du undrar förmodligen hur det är möjligt. Ett bevis är: en uppsättning logiska steg som förvärvats genom deduktiva (därför inte gör några gigantiska steg) i logik, såvida inte per definition), och därmed empiriskt (från de tillhandahållna bevisen) vilket resulterar i en direkt ekvivalens (som bland andra typer av ekvivalens, men främst i permutation, multiplikativ / tillsats & negativ / positiv & jämn / udda. .. meta-matematiskt) av tillstånd, att ”s kortaste avstånd är (i absoluta termer), antingen oändlighet, noll och / eller också, en.
Verkligen” försök ”av 2 + 2 = 5 är baserad på en förvrängd typ av trigonometri, som i huvudsak var källan till dagens ”Calculus” (försök bara rita Tangent eller Secant utan att stöta på idén med Calculus ”derivat respektive integral), och är faktiskt resultatet av varje additivekvivalens av två tal ”till att vara lika med valfritt tal, (b eftersom mätning av hypotenus på en viss sida är i huvudsak multiplikativ, därmed delvis irrationell. och svaret är ett rungande, ja! Men först ”beviset” som skrivet av Charles Seife.)
Låt a = b och a och b = 1. Kolla nu det här …
b ^ 2 = ab … (ekv.1)
Eftersom a är lika med sig själv är det uppenbart att
a ^ 2 = a ^ 2 … (ekv.2)
Subtrahera ekvation 1 från ekvation 2. Detta ger
a ^ 2-b ^ 2 = a ^ 2-ab. .. (ekv. 3)
Vi kan faktorera båda sidor av ekvationen; (a ^ 2) -ab är lika med a (a-b). På samma sätt är a ^ 2-b ^ 2 lika med (a + b) (a – b) (Inget fishy pågår här. Detta uttalande är helt sant. Anslut siffror och se själv!) Att ersätta med ekvationen 3, vi få
(a + b) (ab) = a (ab) … (ekv.5)
Hittills så bra. Dela nu båda sidor av ekvationen med (ab) så får vi
a + b = a … (ekv.5)
b = 0 … (ekv. 6)
Men vi sätter b till lika med 1 i början av detta bevis, så det betyder att
1 = 0 … (ekv.7)
… Hur som helst, att komma så långt ger oss kärnan i beviset, senare i beviset fortsätter Charles Seife att bevisa att Winston Churchill var en morot! om du vill veta hur det är möjligt, rekommenderar jag att du läser boken.
Från ekvation 7, lägg till ett nummer på vardera sidan och få det lika med alla andra nummer, ett större än sig själv.
Multiplicera ekvation 7 efter att ha lagt till den, och man kan få: vilket tal som helst är lika med vilket annat tal som helst.
Därför är varje tal konceptuellt lika med noll och, teoretiskt sett, att inkluderar oändlighet. Men det är också anledningen till att när du delar med noll är det ”odefinierat.” Vilket, följaktligen, är vad som händer i denna ekvation … ersätt bara 1 till ekvation 3 och man ser att vi delar med noll i ekvation 5.
Detta är vad som leder till uppfinningen av kalkylen. Verkligen, härifrån sträcker sig detta in i Hilbert Space … men det är bäst att lämna för en ny post, förhoppningsvis, om det faktiska kvantiseringsämnet .
Det är allt jag har tid för …
DETTA BEKRÄFTA ÄR DEFINITION FEL, men det ger ett bra verktyg för varför vi definierar saker i matematik som vi gör.
En bra fråga att ställa härifrån skulle vara (baserat på min tidigare tangent):
Gör 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1? Eller motsvarar det bara nollpunkt nio upprepande? Källa: Zero: Biography of a Dangerous Idea av Charles Seife
Svar
Jag börjar med att anta bas 10.
Peano introducerade dessa axiom i ett försök för att formalisera aritmetik. Även om det inte visat sig att de är konsekventa i sig antas de vara sådana, rimligen. Även om jag normalt inte anser att 0 är ett naturligt tal, gör det denna process lite enklare, att börja med att definiera noll som det första naturliga talet, dvs. 0 \ in \ mathbb {N}.
Peano fortsätter sedan med att definiera följande om likheter med naturarna:
- Jämlikhet är symmetrisk . (dvs. \ alpha = \ beta \ innebär \ beta = \ alpha)
- Jämställdhet är reflexiv . (dvs. \ alpha = \ alpha för alla naturliga \ alpha)
- Jämställdhet är transitive . (dvs om \ alpha = \ beta och \ beta = \ gamma, då \ alpha = \ gamma)
- De naturliga stängs under jämställdhet. (om \ alpha är ett naturligt tal och \ alpha = \ beta, \ beta är också ett naturligt tal)
Vi måste nu införa efterföljande funktion, som är injektiva , (S (\ alpha) = S (\ beta) \ innebär \ alpha = \ beta) \ text {betecknad} S. De naturliga är stängda under efterföljande funktion.Efterträdarfunktionen tar ett naturligt tal och matar ut sin efterträdare. Dvs. S (0) = 1 och S (1) = 2.
Det finns inget tal som 0 är en efterträdare till.
Med hjälp av efterföljande funktion kan vi bestämma den första få naturliga,
\ mathbb {N} = \ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \ ldots \}, där \ mathbb {N} tolkas som en uppsättning. Det följer därför att S (0) = 1, S (1) = 2, S (2) = 3, S (3) = 4.
Med detta sagt kan vi definiera aritmetik med hjälp av efterträdarfunktion.
- Def. 01: \ alpha + 0 = 0 + \ alpha = \ alpha
- Def. 02: \ alpha + S (\ beta) = S (\ alpha + \ beta).
Vi står inför detta olyckliga problem, 2 + 2 som har plågat matematiker i århundraden.
\ displaystyle 2 + 2 \ underbrace {=} \_ {\ text {by def}} 2 + S (1) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def2}} S (2 + 1) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def}} S (2 + S (0)) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def2}} S (S (2 + 0) ) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def1}} S (S (2)) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def}} S (3) \ underbrace {=} \_ {\ text { av def}} 4.
\ därför 2 + 2 = 4 \ svart kvadrat.