Bästa svaret
#python
print(2**10000)
2844061536738951487114256315111089745514203313820202931640957596464756010405845841566072044962867016515061920631004186422275908670900574606417856951911456055068251250406007519842261898059237118054444788072906395242548339221982707404473162376760846613033778706039803413197133493654622700563169937455508241780972810983291314403571877524768509857276937926433221599399876886660808368837838027643282775172273657572744784112294389733810861607423253291974813120197604178281965697475898164531258434135959862784130128185406283476649088690521047580882615823961985770122407044330583075869039319604603404973156583208672105913300903752823415539745394397715257455290510212310947321610753474825740775273986348298498340756937955646638621874569499279016572103701364433135817214311791398222983845847334440270964182851005072927748364550578634501100852987812389473928699540834346158807043959118985815145779177143619698728131459483783202081474982171858011389071228250905826817436220577475921417653715687725614904582904992 4610286300815355833081301019876758562343435389554091756234008448875261626435686488335194637203772932400944562469232543504006780272738377553764067268986362410374914109667185570507590981002467898801782719259533812824219540283027594084489550146766683896979968862416363133763939033734558014076367418777110553842257394991101864682196965816514851304942223699477147630691554682176828762003627772577237813653316111968112807926694818872012986436607685516398605346022978715575179473852463694469230878942659482170080511203223654962881690357391213683383935917564187338505109702716139154395909915981546544173363116569360311222499379699992267817323580231118626445752991357581750081998392362846152498810889602322443621737716180863570154684840586223297928538756234865564405369626220189635710288123615675125433383032700290976686505685571575055167275188991941297113376901499161813151715440077286505731895574509203301853048471138183154073240533190384620840364217637039115506397890007428536721962809034779745333204683687 95868580237952218629120080742819551317948157624448298518461509704888027274721574688131594750409732115080498190455803416826949787141316063210686391511681774304792596709376
Svar
Den grundläggande sak om decimal är att det är bara en av många formulär som används för att representera siffror. Det är dock en så vanlig form att många (utan eget fel) kommer att associera numret med själva formuläret. Och om två nummer har två olika former måste de vara olika nummer, eller hur?
Men hur är det med följande två nummer:
\ displaystyle {\ qquad \ frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {och} \ quad \ frac {1} {2}?}
Helt annorlunda representationer , men genom att gå igenom och göra nödvändiga beräkningar / avbokningar kommer du nästan säkert att tro mig att dessa två former representerar samma nummer .
Varför?
För när vi lärs fraktioner lär vi oss från ett mycket tidigt skede att två bråk kan vara samma nummer och att de är i reducerad form om täljaren och nämnaren inte har några gemensamma faktorer som överstiger 1.
Och vi håller fast vid det.
Vi är övertygade om det genom erfarenhet och upprepning av den upplevelsen, och vi kan använda olika former för att verifiera den upplevelsen.
Inte så mycket med ”decimaler”, än mindre andra positionella former.
Det snygga med decimala representationer av tal är att för de flesta siffror (i en viss teknisk mening) är decimalformen verkligen unik (men i de flesta av dessa fall – i samma bemärkelse – är det opraktiskt att skriva ner i detalj, låt oss säga det på det sättet).
Det finns dock några undantag. Med ”få” menar jag att i jämförelse med hela ”många” tal som i princip (om inte i praktiken) kan skrivas i decimal.Undantagen är de siffror som är rationella, och deras nämnare (i reducerad form) har endast befogenheter på 2 och / eller befogenheter på 5.
Verktyget du behöver för att förstå det är kärnan i en konvergerande geometrisk serie.
En konvergerande (oändlig) geometrisk serie är en serie av formen
\ displaystyle {\ qquad a + a \ gånger r + a \ gånger r ^ 2 + \ ldots + a \ gånger r ^ n + \ ldots.}
När serien avslutas efter ett begränsat antal termer med högsta effekt N är det ganska lätt att bekräfta att serien summerar till
\ displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ frac {a (1-r ^ N)} { 1-r},}
och vi frågar vad det innebär att ha en oändlig summa. Den konventionella definitionen är att termerna blir mindre tillräckligt snabbt så att det totala värdet närmar sig en begränsad gräns när N blir godtyckligt stor. Att undersöka denna idé leder oss till ett villkor, vilket är att det gemensamma förhållandet r måste ligga mellan (men inte vara antingen) -1 och 1. Eller, | r | , motsvarande -1 .
Då blir formeln
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {a} {1-r},}
som termen r ^ N \ to0.
Kom nu ihåg hur decimalnotation definieras: det är egentligen bara stenografi för en serie av formen
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} & a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\ & \ qquad = a\_k \ times10 ^ k + a\_ {k-1} \ times10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ times10 + a\_0 \\ & \ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots, \ end {align *}}
där k är den högsta icke-nolleffekten på tio som är mindre än talet, och a\_i, b\_j är decimalsiffrorna (heltal från noll till nio).
Talet 9.999 \ ldots = 9. \ dot9 är ett nummer i denna form, där k = 0 och a\_0 = 9 = b\_j för alla positiva heltal j. Lyckligtvis ger detta oss exakt formen av en geometrisk serie! (Observera att varje tal i decimalform där siffrorna skiljer sig från 9 till höger begränsas ovan av en serie som denna.)
Vi kan bara koppla in saker: den första termen är a = 9 , och det gemensamma förhållandet är r = \ frac {1} {10} . Så direkt vet vi att denna serie konvergerar!
Vi får
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {9} {1- \ frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
Mycket snyggt.
Det finns naturligtvis andra knep du kan använda för att bevisa att 9. \ dot9 = 10 (i decimal, hur som helst …), men det bästa (i mina tankar) är att förstå något om vad notationen betyder och hur den fungerar – och då är det lätt att ta tag i med det faktum att även i positionsnotering inte alla siffror representeras på bara ett sätt.
I allmänhet, om vi har en giltig bas b, representeras antalet i den positionella basen med formen 0. (b -1) (b-1) (b-1) \ ldots är alltid lika med 1. I binär (till exempel), där 0,1 = \ frac {1} {2}, har vi således 0.111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1. Den oändliga serien ”metod” fungerar på samma sätt för att bevisa detta resultat.