Bästa svaret
Det finns många bra svar skrivna som hjälper dig att visualisera vad den här frågan innebär för att intuitivt nå en svar av 3. Och inget jag skriver här är avsett att ta bort något från värdet av dessa svar. De hjälper nya elever att tänka på länken mellan matematik och modellering på ett konkret sätt, och det är en ENORM skicklighet.
Med detta sagt är matte inte modellering. Så ett alternativt sätt att tänka på detta problem är ur ett rent matematiskt perspektiv. Och om du utvecklar denna färdighet, kommer du att arbeta dig för att kunna hantera mer abstrakta matematiska typer som ofta avslutar matematikkarriären hos studenter som uteslutande förlitar sig på en mer modellcentrerad, intuitiv strategi.
Du frågade ”Vad är 3/4 dividerat med 1/4?”
Precis där mitt i din fråga använde du termen ”dividerat med.” För en matematiker är det en ledtråd att omedelbart slå upp DEFINITIONEN av division. Definitioner är de tegelstenar som matematik bygger på.
En definition av division (i detta sammanhang) är:
Givet två siffror, a och b (med b \ ne 0), a dividerat med b är c om c gånger b är lika med a.
Så nu vet jag vad ”dividerat med” betyder. Kan vi tillämpa denna definition på ditt problem? Du frågar om 3/4 dividerat med 1/4. Det ser ut som om du har två siffror (det andra är inte noll) och du vill veta resultatet till det första dividerat med det andra. Så det verkar som att denna definition är exakt vad du behöver.
Så nu börjar spelet. Svaret på problemet kommer att vara vilket nummer som helst, c, så att \ frac 14 \ gånger c = \ frac 34.
Här är de goda nyheterna. Vi vet nu hur man kontrollerar om något svar är rätt svar eller inte. Vi multiplicerar bara 1/4 med kandidatsvaret och om resultatet är 3/4 är kandidatsvaret korrekt.
Den dåliga nyheten är att om kandidatsvaret INTE är korrekt är vi inte närmare hitta rätt svar. Med andra ord hjälper definitionen oss inte HITTA rätt svar. Det hjälper oss bara att kontrollera om ett kandidatsvar är rätt.
Så vad kan vi göra? Trial and error för alltid verkar som en dålig idé. Det verkar som om det nu är dags att uppfinna en regel som alltid ger oss rätt svar.
Jag föreslår denna regel. Med tanke på två siffror a och b \ ne 0, måste dividerat med b alltid vara lika med gånger det ömsesidiga av b (ofta betecknat \ frac 1b).
Innan vi kan använda denna regel, naturligtvis, vi måste se till att det alltid fungerar. Det är vad vi kallar ett bevis. Beviset här är enkelt eftersom regeln ger mig en kandidatlösning och definitionen säger exakt hur man ska kontrollera en kandidatlösning.
Är det sant att a \ times \ frac 1b = a dividerat med b? Definitionen säger att svaret kommer att vara c om c gånger b är lika med a. Så kan vi multiplicera vår kandidat, a \ times \ frac 1b med b för att få en? Eftersom multiplikation är kommutativ kan vi helt klart. Och regeln är bevisad. (Vi har precis bevisat vår första sats om delning. Om definitionerna ligger i matematikens tegelstenar, är satser och bevis murbruk som håller dem samman och låter dem användas för att bygga stora strukturer.)
Så det är verkar som att svaret på vårt problem är att 3/4 dividerat med 1/4 måste vara lika med produkten av 3/4 och det ömsesidiga av 1/4. Bra! Okej?
Nåväl, vi har nu förändrat vårt uppdelningsproblem till två problem. En är ett multiplikationsproblem. Den andra är ”Hur hittar jag det ömsesidiga av 1/4?”
Jag antar att du vet hur man multiplicerar siffror, så egentligen har vi bara en fråga om att hitta ömsesidiga. Egentligen är detta bara ytterligare ett uppdelningsproblem. Egentligen ber jag dig nu att hitta 1 dividerad med 1/4. Det verkar inte som en vinst först eftersom jag är tillbaka för att göra division. Men jag hävdar att det är en vinst eftersom vi gick från att behöva räkna ut hur man delar NÅGON a av b till att nu bara behöva hitta 1 dividerat med b för alla icke-noll b. Och de goda nyheterna är att det är LÄTT att lära sig att gissa rätt ömsesidigt. Och när du väl gissat det kan du verifiera det eftersom det är precis vad definitionen säger hur du ska göra.
Det ömsesidiga av 1/4 är 4. Vi kan verifiera att eftersom det ömsesidiga betyder 1 dividerat med 1 / 4, och definitionen säger att 4 är svaret så länge 4 multiplicerat med 1/4 ger 1. Och det är verkligen sant.
Så slutligen har vi lärt oss att 3/4 dividerat med 1 / 4 är lika med 3/4 gånger 4. Och eftersom jag vet hur jag ska multiplicera (till exempel genom att lägga ihop 4 kopior av siffran 3/4) drar jag slutsatsen att svaret är 3. Och om jag är riktigt försiktig, jag gå tillbaka och kontrollera resultatet med definitionen bara för att vara säker på att jag inte gjorde några fel. Så är 1/4 multiplicerat med 3 lika med 3/4? Det är faktiskt så att 3 nu har verifierats för att vara den rätta lösningen.
Nu verkar det svaret riktigt långt och komplicerat – särskilt för en nykomling i matematik. Jag förstår det.Faktum är att du får svaret mycket snabbare med en miniräknare eller Google eller med hjälp av vissa (obevisade för dig) tekniker som de flesta av oss lär oss tidigt i skolan. Men det är inte poängen alls.
Vad vi verkligen lärde oss är inte svaret på DETTA problemet. Vad vi verkligen lärde oss är att göra delning av ALLA TVÅ siffror kräver att vi vet hur man gör två saker. Först måste vi veta hur man delar ONE med valfritt (icke-noll) tal för att få ett ömsesidigt. Och för det andra måste vi veta hur man multiplicerar två nummer. Och den sanningen är mycket mer intressant och djupgående än att veta svaret på denna fråga. Förlåt den överanvända metaforen, men den lär en man att fiska snarare än att ge honom en fisk.
Och den verkliga kraften är att den sätter uppdelning i ett sammanhang som gör att den kan generaliseras. Och generaliseringar av uppdelningen av två nummer leder till viktiga idéer. Och det är vad matematik egentligen handlar om!
Svar
Michael Lamar förklarar mycket bra i sitt svar varför att förstå det abstrakta begreppet division är matematiskt viktigare än det specifika svaret på \ frac34 \ div \ frac14, så jag kommer att dyka rakt in i generaliseringen:
Vad är \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}?
I ett Fält varje element som inte är noll a har ett unikt multiplikativ invers a ”så att
\ quad a \ gånger a” = a ” \ gånger a = 1 multiplikativ identitet.
Division är definierad i termer av multiplikation:
\ quad b \ div a \ equiv b \ gånger a ”
Multiplicativ invers av en bråk ges genom att invertera bråk eftersom:
\ quad \ frac {p} {q} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {p \ times q} {q \ times p} = 1 därför \ left (\ frac {p} {q} \ right) ”= \ frac {q} {p} (förutom p = 0).
Därför ges vår division av:
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {n \ time s q} {m \ times p}
För en spirande matematiker svarar detta på frågan, åtminstone inom ramen för ett fält. Den sanna (rena) matematikern vill då se hur de kan generalisera ytterligare.
Andra kommer att vara mer intresserade av att få det specifika svaret på den ursprungliga frågan genom att initiera n = 3, m = 4, p = 1, q = 4 för att få:
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
Fortfarande inte ganska 3 men du kan komma dit med lite mer abstraktion: en övning som jag lämnar till den intresserade läsaren.
För den spirande matematikern kan du för övrigt kontrollera att i ändligt fält \ mathbb F\_5 har vi:
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12 eftersom \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4 och \ frac12 \ equiv3