Bästa svaret
Termen ”punktuppsättning” har, såvitt jag är medveten om, ingen standardmatematisk definition. Frasen ”Låt X vara en punktuppsättning” är meningslös. I ”point-set topology” är frasen ”point-set” ett adjektiv som modifierar ”topologi”, i motsats till ”algebraisk topologi” eller ”differentiell topologi.”
- Punktuppsättningstopologi studerar potentiellt patologiska topologiska utrymmen ur en väsentligen uppsättningsteoretisk synvinkel.
- Algebraisk topologi använder homologisk algebra för att analysera lämpligt fina kontinuerliga utrymmen.
- Differentiell topologi använder kalkyl för att studera släta utrymmen.
Modifieraren ”point-set” för topologi anger därför att du potentiellt arbetar i ett sammanhang där dina utrymmen är kan inte studeras med kontinuerliga eller differentierbara metoder.
Svar
En rad kan betraktas som bestående av poäng men jag är inte säker på att det är det bästa sättet att tänka på det. Och jag är ganska säker på att du bör undvika att säga att en rad består av ”punkter”, för ingen av dem är mer grundläggande än den andra.
I axiomatiska geometri är linjer och punkter distinkta grundläggande enheter. Två linjer skär varandra vid en punkt och det finns en strikt ordning på olika punkter på en viss linje. Ett intressant inslag i projektiv geometri är symmetrin mellan punkter och linjer: det finns en formell dualitet mellan dem. Det uttalandet om två rader som möts vid en punkt motsvarar formellt dess dubbla – två punkter definierar en linje. I den dubbla vyn består en punkt av ”linjer”.
När det gäller kardinaliteten i punkterna på en linje: detta beror på de konstruktioner som du tillåter. Med den traditionella ”omärkta linjalen och kompassen” finns det bara ett räknbart antal punkter vi kan nå på en linje. Genom att tillåta gränser för poängsekvenser i allmänhet kan vi nå vilken punkt som helst på linjen Real number, som har otalbar kardinaliteten i kontinuumet. Men det finns ingen särskild anledning att stanna där: vi kan konstruera, säg, den surrealistiska talraden där distinkta punkter kan vara oändligt nära och det finns obestämt många av dem (bortom oräkneliga!).