Bästa svaret
Ur en teoretisk probabilistisk synpunkt är ett slumpmässigt fält en familj av slumpmässiga variabler som indexeras av ett grenrör.
Låt mig förklara:
En stokastisk process är en familj av slumpmässiga variabler \ {X (t) \} \_ {t \ i T}, där för varje t är X (t) en slumpmässig variabel, och t varierar i den uppsättning T som kallas indexuppsättningen. Teoretiskt sett innebär definitionen ingen begränsning av indexuppsättningen T, den kan vara vilken uppsättning som helst. Men när vi säger stokastisk process, 99\% av tiden tänker vi faktiskt t som tiden, därför måste T vara den verkliga linjen eller uppsättningen heltal eller en del av dem.
När detta är inte fallet, oftast, när T faktiskt är ett högre dimensionellt euklidiskt utrymme eller en del av det, eller något liknande (ett ”grenrör”), så är \ {X (t) \} \_ {t \ i T} kallas ett slumpmässigt fält. Tanken är att eftersom index inte längre är endimensionellt kan vi inte tänka det som tid, så vi tänker det som rymd. Som ett resultat får vi inte en ”process”, vi får ett ”fält”. Således får vi en slumpmässig yta eller en slumpmässig multivariatfunktion.
Svar
En slumpmässig variabel definieras som en mätbar funktion
X: \ Omega \ mapsto \ R
Var \ Omega är en Sannolikhetsutrymme – Wikipedia .
Oroa dig inte så mycket för den ”mätbara” delen. Den huvudsakliga poängen jag vill göra här är att det, särskilt i matematik och fysik, finns ett slags ekvivalens mellan funktioner och variabler .
Till exempel säger en vanlig form av kedjeregeln från Calculus:
\ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ frac { du} {dx}
men det är bara meningsfullt om y implicit är en funktion av u och u är implicit en funktion av x. Dessutom på vänster sida y representerar faktiskt (och implicit) den sammansatta funktionen y = y (u (x)).
Du ser också denna typ av funktion-som-variabel notation hela tiden i differentiella ekvationer. Till exempel när någon skriver en differentialekvation som
y ”= y
är det helt enkelt förstod att y är en funktion på någon ospecificerad domän dvs y = y (x), och att y ”representerar funktionen \ frac {dy} {dx} och = tecknet betyder lika funktioner. Det ”är en hel del inbyggd i den notationen!
Jag nämner detta eftersom slumpmässiga variabler fungerar exakt på samma sätt. Vi skriver X, men den här symbolen hänvisar till en -funktion X (\ omega). En slumpmässig variabel är en funktion vars domän är ett sannolikhetsutrymme. Sannolikhetsutrymmet är nästan aldrig uttryckligt i notationen, men det måste definieras i sitt sammanhang.
När det gäller varför det kallas ”slumpmässigt”, det är bara ordet vi använder för saker som beror på ett sannolikhetsutrymme. Om jag säger ”räkna 1 för huvuden, -1 för svansar” har jag definierat både ett sannolikhetsutrymme \ Omega = \ {huvuden, svansar}} (förmodligen med enhetlig fördelning) och en slumpmässig variabel X (huvuden) = 1, X (svansar) = – 1. Symbolen X betecknar inte ett reellt tal utan en funktion med en ”slumpmässig” domän, där ”slumpmässig” löst kan definieras som ”med en känd fördelning av resultat.”