Bästa svaret
Först och främst \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
Nu representerar jag kvadratrotfunktionen med dess Taylor-serie. Jag beräknar den här Taylor-serien ungefär 16, bara för att vara säker från alla irriterande konvergensradier. Sedan kommer jag att ungefär \ sqrt {20} genom att ställa in x = 20 i serien.
Definitionen av Taylor-serien för valfri funktion f \ left (x \ right) är som följer:
f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
Här betecknar f ^ {\ left (n \ right)} det n: e derivatet av f. Vi måste beräkna massor av derivat och förhoppningsvis kommer det att finnas ett något lätt märkbart mönster.
f \ left (x \ right) ska hädanefter beteckna \ sqrt {x}.
”Noll” -derivatet av f är helt enkelt f. Jag har f \ left (16 \ right) som koefficient för den första termen i serien. (Kom ihåg att jag bestämde mig för att centrera Taylor-serien runt 16 . Kvadratroten av 16 är tillräckligt enkelt – det är bara 4 . Fyra fyrar är 16.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
Okej. Saker kommer att bli lite utmanande. Vi måste nu beräkna derivatet av \ sqrt {x}.
Power-regeln säger att \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. I det här fallet är n = \ frac {1} {2} (med tanke på att \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}).
Därför \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Nästa koefficient i serien är därför \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} eller helt enkelt \ frac {1} {8}.
Nästa term i Taylor-serien blir därför f ”\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} eller helt enkelt \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
Här är den partiella summan hittills:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ) ^ 0} {0!} + \ Frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ Cdots
Okej. Nu, vi måste beräkna andra derivatet av f \ left (x \ right), eller helt enkelt beräkna derivatet av \ frac {1} {2 \ sqrt {x }}.
Detta kräver att kedjeregeln används eftersom vi har en funktion sammansatt i en annan. En funktion ska hädanefter betecknas med g \ left (x \ right) = \ frac {1} { x}, och den andra ska hädanefter betecknas med h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x}. Den funktion som vi vill hitta derivatet är: f ”\ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Med andra ord vill vi hitta derivatet av g \ left (h \ left (x \ right) \ right).
Kedjeregeln säger att \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} g \ vänster (h \ vänster (x \ höger) \ höger) = g ”\ vänster (h \ vänster (x \ höger) \ höger) h” \ vänster (x \ höger).
Derivat av g \ left (x \ right) är – \ frac {1} {x ^ 2} (av Power Rule). Derivat av h \ left (x \ right) är \ frac {1} {\ sqrt {x}} (enligt Power Rule och egenskapen som antyder \ left (cf \ left (x \ right) \ right) ” = cf ”\ left (x \ right)).
Nu har vi den \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} = – \ frac {1} {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3}. Den tredje koefficienten i serien är därför – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (eller enklare – \ frac {1} {256}).
Den tredje termen i serien är: – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
Hela delsumman hittills:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left ( x-16 \ höger) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ vänster (x-16 \ höger) ^ 2} {2!} + \ cdots
Nu beräknar jag det fjärde derivatet av f \ left (x \ right).
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
Den fjärde termen i sekvensen blir \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
Summan har nu fyra termer:
f \ left ( x \ höger) = 4 \ frac {\ vänster (x-16 \ höger) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ vänster (x-16 \ höger) ^ 1} { 1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ höger) ^ 3} {3!} + \ cdots
Om vi fortsätter med detta mönster, får vi följande mönster av koefficienter:
\ frac {1} {0.25 }, \ frac {1} {8 }, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots
Nu är det dags att hitta ett mönster och uttrycka sekvens med en uttrycklig formel.
Den nionde nämnaren kan representeras av b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right) vilket förenklar till b\_n = 2 ^ {5n-2} (med det ursprungliga värdet n som 0). Det var enkelt. Vad sägs om täljarna?
Här är serien av täljare (ignorerar teckenändring, som kommer att tas om hand senare):
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
Hmm…
…
Mönstret på täljarna är ganska enkelt. Ta 945 och dela det med 105. Du får 9. Därefter tar du 105 och delar det med 15. Du får 7. Fortsätter: 15 dividerat med 3 är 5, 3 dividerat med 1 är 3 och 1 dividerat med 1 är 1. Produkter med udda siffror är involverade här.
Den \ vänstra (n + 2 \ höger) tionde termen i räknare (exklusive alternering) är därför:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right)
Formeln för täljarna är i form av pi-notation. Det vore bättre om det uttrycks med hjälp av faktornotationen på något sätt.
Om vi delar produkten från de första 2n + 2-heltalen med produkten av de jämna heltalen från 2 till 2n, så får vi produkt av udda heltal från 1 till 2n + 1. Med andra ord,
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
Nu kan vi ta bort pi-notationen och ersätta den med ett mindre, mer elegant uttryck. Som du kan se multipliceras 2 i termen med sig själv n + 1 gånger. Så vi kan dra ut 2, placera den framför huvudstaden pi och sedan höja 2 till kraften på n + 1. Det lämnar oss med:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
Ovanstående ekvation kan skrivas enklare som:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ vänster (n + 1 \ höger)!}
Du kanske redan har märkt att serien som ges av uttrycket direkt ovan är avstängd med två termer. För att åtgärda detta problem är allt vi behöver göra att hitta alla n i nämnarens formel och lägga till dem med 2. Vi måste också göra detsamma med resten av termerna med krafter på x.
Nämnarformeln är äntligen 2 ^ {5n + 8}.
Eftersom vi flyttade serien måste vi fortfarande inkludera de som uteslutits någonstans i uttrycket. Det kommer att finnas andra termer som visas före signaturen i uttrycket. Dessa termer är 4 och \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right).
Koefficienten för varje term i serien kommer att vara:
c\_n = \ frac {\ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}} {2 ^ {5n + 8}}
vilket förenklar ner till:
c\_n = \ frac {\ vänster (2n + 2 \ höger)!} {2 ^ {6n + 9} \ vänster (n + 1 \ höger)!}
Det är formeln för den nionde koefficienten för serien (detta utesluter de två första termerna eftersom dessa termer skulle orsaka fel i formeln för t\_n).
Vi kan nu börja skriva sigma-notationen (kom ihåg att vi skiftade serien för att ta ut de snygga termerna, så det kommer att finnas några saker på framsidan av sigma-notationen).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right)
– \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} – \ cdots
Det är en alternerande serie som börjar med en negativ, så vi måste multiplicera termerna med (n + 1) kraften -1.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ höger) + \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ in fty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1} \ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!}
Rensad:
f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 1} \ vänster (-1 \ höger) ^ n \ vänster (2n \ höger)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ vänster (n + 1 \ höger)!}
HA!
Vi har nu Taylor-serien för den så kallade ”kvadratrot” -funktionen, som definitivt inte är något för miniräknare. Nu är allt som återstår att göra att ungefärliga kvadratroten på tjugo med hjälp av taylor-serien som vi just tänkt ut.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ vänster (20-16 \ höger) ^ {n + 1} \ vänster (-1 \ höger) ^ n \ vänster (2n \ höger )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Vänster (n + 1 \ höger)!}
Förenklad:
f \ vänster (20 \ höger) = \ sqrt {20} = 4,5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {4n + 1 } \ left (n + 1 \ right) \ left (n! \ right) ^ 2}
Jag skrev ovanstående uttryck i Desmos och ersatte \ infty med 15. Desmos utvärderade summan. Så kvadratroten på tjugo är ungefär 4.472135955.
Jag gick djupt med det här svaret eftersom det annars skulle vara tråkigt nog.
Alla som kan använda internet har tillgång till till och med mest vetenskapliga av miniräknare. Kvadratrotfunktionen är alltid tillgänglig 24/7/365. Tack vare detta faktum kommer jag att kontrollera mitt svar.
4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
Tack för att du läste.
Svar
Tja, låt oss försöka utan miniräknare .
Hitta numret vars kvadrat är bara mindre än 20, det är 4.
Hitta ett vars kvadrat är strax över 20 , det är 5.
Så, 4 qrt (20)
En gång, som har identifierats, beräkna medelvärdet av dessa två siffror som är 4,5
AM ≥ GM och GM = √4 * 5 = √20.
Därför har vi √20 ,5
Så, 4 qrt (20) ,5
Beräkna 4,5 kvadrat… 4 * 5 + .25 = 20,25…
Det är bara lite högt…
Så svaret bör vara runt 4,5 bara inte nära 4 .
Låt oss nu försöka hitta det mer korrekt
Ta f (x) = sqrt (x)
f ”(x) = o.5 / sqrt (x)
Nu, f (20,25) = 4,5, f (20) =?
Ta ∆x = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f ”(x)
(Taylors serie trunkeras till första ordningen eller så kan du ringa Newton Raphson-metod)
Nu ersätter vi x och ∆x,
f (20) = 4,5 -0,25 * 0,5 (1 / 4,5)
= 4,5 – (1/4) (1/9) = 4,5 – .1111 / 4
= 4,5 -10 ^ (- 4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4,5 – 10 ^ – (4) [250 + 25 + 2,5 + 0,25]
= 4,5 -0,027775
= 4,472225
Därför, sqrt (20) ~ 4.472225
Och det här är vad Google erbjöd som svar.
Så, vårt svar är inte så dåligt !!