Bästa svaret
Det här är en bra tid att visa hur matematik fungerar genom att ta ett intuitivt men vagt koncept och göra det exakt med smarta definitioner.
Vad ska vi mena med motsatsen? Tja, en rimlig sak att betyda är att när vi utför någon operation \ vee (kalla det vad du vill, banan är till exempel ett bra namn) på x och dess motsatta x ^ *, bör resultatet vara något bananneutralt element n. Det vill säga x och “anti-x” bör avbryta varandra så att x \ vee x ^ * = n. Observera att för tillfället vet vi inte mycket om banan förutom dessa formella egenskaper. Begreppet n att vara neutralt borde i den meningen betyda att för alla y bör vi ha y \ vee n = y, det vill säga, n påverkar inte y när banan appliceras på dem båda.
Detta begrepp med motsats är grundläggande i matematik och det vanligaste namnet på x ^ * är invers av x med avseende på operationen \ vee.
När \ vee är vanlig addition + av siffror, x ^ * betecknas -x, eftersom x + (- x) = 0 är det neutrala elementet. Faktiskt, för alla y, y + 0 = y. Så i det här fallet är motsatsen till 0 -0, vilket är 0 självt!
När \ vee multipliceras är det neutrala elementet 1 (varför?). Då har 0 inte en motsats, eftersom inget antal gånger noll är ett. Det finns sammanhang där matematiker uppfinner en multiplikativ motsats till 0, och de brukar kalla det \ infty, vilket är vettigt.
Svar
Detta hade tidigare varit föremål för en del debatt i det matematiska samhället tills Donald Knuth satte upp saker 1992, så det är förståeligt att viss förvirring dröjer kvar, men den moderna konventionen är att definiera 0 ^ 0 = 1 av goda skäl.
Vad gör 0 ^ 0 betyda? Kanske har du lärt dig att en nolleffekt beräknas genom att dela en n: te effekt med en n: te effekt (n> 0); det hjälper inte i fallet med 0 ^ 0 och leder till att vissa människor associerar 0 ^ 0 med den odefinierade kvoten \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00. Dessa människor har inte insett att 0 ^ 2 är perfekt definierat och inte kan associeras med den odefinierade kvoten \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00 – vi kan inte bevisa vad som helst genom att införa en division med noll där ingen fanns tidigare.
Men vi behöver inte alls vädja till division:
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1.
Om jag tar bort alla dina äpplen n gånger (n> 0) , du har inga äpplen kvar; men om jag tar bort alla dina äpplen 0 gånger, har du fortfarande alla dina äpplen. Mer kortfattat är att 0 ^ 0 = 1 är ett fall av tom produkt , precis som 0! = 1.
Så varför tog det så lång tid att bli accepterad? Det uppenbara problemet är att begränsande form 0 ^ 0 är en obestämd form, i den meningen att \ textstyle \ lim\_ {x \ till a} f (x) = \ lim\_ {x \ till a} g (x) = 0 ger dig ingen information * om gränsen \ textstyle \ lim\_ {x \ till a} f (x) ^ {g (x)}: det kan vara valfritt reellt tal, \ infty, eller kanske inte existerar, beroende på de specifika funktionerna. Detta tycktes vara i konflikt med den enkla intuitionen ovan i över ett sekel. Men den viktiga insikten är att den obestämda begränsande form 0 ^ 0 hindrar oss inte från att tilldela en definition till värde 0 ^ 0 . De är inte samma objekt: begränsande form 0 ^ 0 är bara en förkortning för den ovannämnda gränsen, och dess obestämdhet betyder bara att exponentiering inte kan vara en kontinuerlig funktion i vilket område som helst (0, 0).
Detta borde inte vara alltför förvånande: till exempel \ lfloor 0 \ rfloor är också en obestämd form (\ textstyle \ lim\_ {x \ till 0} \ lfloor x \ rfloor existerar inte, \ textstyle \ lim\_ {x \ till 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0, \ textstyle \ lim\_ {x \ till 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ), ändå skriver vi fortfarande \ lfloor 0 \ rfloor = 0 som ett värde.
Och så tilldelar vi nu 0 ^ 0 det värde som är användbart, vilket är 1. Varför är det användbart? Eftersom det låter oss manipulera exponentials utan att lägga till specialfall .
- Om \ textstyle p (x) = \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ n är en polynom , då är p (0) = a\_0 dess konstanta term – men vi kan inte ens skriva ett polynom på detta uppenbara sätt såvida inte 0 ^ 0 = 1. Detsamma gäller oändliga kraftserier, där d ersätts med \ infty.
- Utvärderingen av den oändliga geometriska serien : \ begin {split} \ textstyle (1 – x) \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1, \ end {split} så \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1 – x}. är helt giltigt (och till och med kontinuerligt) för | x | , inklusive x = 0, men kräver 0 ^ 0 = 1.
- binomialteorem (a + b) ^ n = \ textstil \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k håller även när a = 0 eller b = 0, men kräver 0 ^ 0 = 1.
- effektregel \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n – 1} (n \ ne 0) hålls även i n = 1 vid x = 0, men kräver 0 ^ 0 = 1.
- Jack Huizengas svar ger ett annat exempel: antal funktioner f \ kolon S \ to T är \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}, men bara om 0 ^ 0 = 1.
- I Kyrkans siffra kodning av naturarna, exponentiering är bara funktionstillämpning och 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ lambda x. x) (\ lambda f. \ lambda x. x) = (\ lambda x. x) = 1.
* Den mening där 0 ^ 0 är en obestämd form är svagare än för andra obestämda former. För komplexa analytiska funktioner f, g med \ textstyle \ lim\_ {x \ till a} f (x) = \ lim\_ {x \ till a} g (x ) = 0, vi har alltid \ textstyle \ lim\_ {x \ till a} f (x) ^ {g (x)} = 1, såvida inte f är identiskt noll (i vilket fall gränsen inte existerar).
Donald Knuth ger i princip samma svar i “ Två anteckningar om Notation ” (1992, s. 6), tillsammans med historisk bakgrund:
[Libris] tidning [33] producerade emellertid flera krusningar i matematiska vatten när det ursprungligen dykt upp, eftersom det väckte en kontrovers om 0 ^ 0 definierades. De flesta matematiker var överens om att 0 ^ 0 = 1, men Cauchy [5, sida 70] hade listat 0 ^ 0 tillsammans med andra uttryck som 0/0 och \ infty – \ infty i en tabell med ofärdiga former. Libris motivering för ekvationen 0 ^ 0 = 1 var långt ifrån övertygande, och en kommentator som undertecknade sitt namn helt enkelt ”S” steg till attacken [45]. August Möbius [36] försvarade Libri genom att presentera sin tidigare professors anledning att tro att 0 ^ 0 = 1 (i grunden ett bevis på att \ textstyle \ lim\_ {x \ till 0 ^ +} x ^ x = 1). Möbius gick också längre och presenterade ett förmodat bevis för att \ textstyle \ lim\_ {x \ till 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1 när \ textstyle \ lim\_ {x \ till 0 ^ +} f ( x) = \ lim\_ {x \ till 0 ^ +} g (x) = 0. Naturligtvis frågade ”S” sedan [3] om Möbius visste om funktioner som f (x) = e ^ {- 1 / x} och g (x) = x. (Och papper [36] utelämnades tyst från det historiska dokumentet när Möbius samlade verk till slut publicerades.) Debatten stannade där, uppenbarligen med slutsatsen att 0 ^ 0 borde odefinieras.
Men nej , nej, tiotusen gånger nej! Alla som vill att binomialsatsen \ displaystyle (x + y) ^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n – k} ska hålla minst ett icke-negativt heltal n måste tro att 0 ^ 0 = 1, för vi kan ansluta x = 0 och y = 1 för att få 1 till vänster och 0 ^ 0 till höger.
Antalet mappningar från den tomma uppsättningen till den tomma uppsättningen är 0 ^ 0. Det måste vara 1.
Å andra sidan hade Cauchy goda skäl att betrakta 0 ^ 0 som en obestämd begränsande form , i den meningen att gränsvärdet för f (x) ^ {g (x)} inte är känt a priori när f (x) och g (x) närmar sig 0 oberoende. I denna mycket starkare mening är värdet 0 ^ 0 mindre definierat än, säg, värdet 0 + 0. Både Cauchy och Libri hade rätt, men Libri och hans försvarare förstod inte varför sanningen var på deras sida. p>