Bästa svaret
Med tanke på Rt-triangeln, sidorna 18, 24, 30; Hitta radie med inskriven cirkel.
Kort svar; formlerna för en inskriven cirkelradie i en Rt-triangel är
Area / (1/2 perimeter)
Area är Höjd X Halva basen; det vill säga
18 * 12 = 216
Perimeter är 18 + 24 + 30 = 72; och dividerat med 2
72/2 = 36
Cirkelradien är 216/36 = 6 cm
Långt svar
Konstruktion:
Halvkorsning AC, och CA, vid korsningen, kontrollera locus med halvering av BC, Det är ok så släpp … …
Med en kompass och blyertspenna gör du en cirkel vid vilken sida som helst, följ den runt de andra två sidorna.
Etikettkorsning mellan AD och CE, O.
Från det släpper en vinkelrätt mot varje sida vid P, vid Q och vid R.
Korsningen, O, är lika långt från sidorna AB, BC och AC. (Se III nedan)
I.
Tänk på trianglarna, BPO och BRO.
Vinklar BO = BO (konstruktion).
Linje BO är gemensam för båda trianglarna.
Vinklar RO = PO (konstruerade Rt-vinklar).
Ergo-trianglar BPO och BRO är kongruenta.
Det följer den linjen BP = BR.
Men vi vet att BR = BC – r.
Så BP = BC – r; eller 24 – r.
Med samma argument kan vi bevisa PA = AC -r: eller 18 – r.
Så.
BP = 24 – r; PA = 18 – r; och BP + PA = BA.
Kombinera slutsatser …… BP + PA = (24 – r) + (18 – r) Ersätta BA för BP och PA och förenkla….
Så, BA = 42 – 2r.
Men BA = 30 (ges). Ersätter BA.
30 = 42 – 2r … förenklar … 2r = 42 – 30.
2r = 12.
Ergo r = 6.
QED.
II.
Radie befunnits vara => 6 enheter.
Aritmetiken verkar vara,
Summan av alla sidor, i denna serie trianglar, / 12 = Radien på inskrivna cirkel.
18 + 24 + 30 = 72
Radie = 72/12 = 6.
Hoppas det hjälper.
Re ; formler i andra svar, tack var och en. Nytt för mig! … lol. Jag lär mig något nytt på Quora varje dag. Min favorit är area / (0,5 * perimeter) = inskriven cirkelradie … .216 / 36 = 6…
EDIT 6/26 / 17
III.
Från figurkonstruktionen är
Trianglarna BPO och BOR kongruenta, vilket bevisats ovan. Även APO och AOQ kan också bevisas vara kongruenta.
Ergo
Linjer OP = OR och OQ = OP. Eftersom OP är lika med både OR och OQ är dessa lika med varandra, det vill säga – OR = OQ. Följaktligen är detta ett bevis på att skärningspunkten för dess vinklar är centrum för figuren, en höger triangel och lika långt från dess 3 sidor.
QED
Svar
Tack för att du ställde den här fina frågan, herr Lloyd – inte bara svaret på din fråga är ett ja utan det finns oändligt många (plana ) trianglar med de egenskaper du begär och, som det visar sig, är det möjligt att sortera några av dem snyggt efter radierna på deras inringningar på ett sådant sätt att nämnda radier spårar eller skuggar uppsättningen med naturliga siffror 1, 2, 3, 4 och så vidare.
Med andra ord, med den kommande diskussionen som en ritning för ett potentiellt mer formellt bevis kommer vi visa ett mekaniskt sätt att generera en triangel vars längder har alla sidor är heltal och längden på radien vars cirkel är ett heltal n ges i förväg.
Sidofält: dessa typer av frågor har mycket att göra med elementär talteori och väldigt lite att göra med geometri.
En familj av (plana) trianglar som är garanterat att ha de begärda egenskaperna direkt från fladdermusen är de så kallade Pythagoras trianglar – den högra (för tillfället) trianglar längderna vars alla sidor är heltal.
Låt oss komma överens om att längderna på sidorna av en Pythagoras triangel är hela, strikt positivt, siffrorna a, b och c så att:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ tag {1}
Låt oss också komma överens om att när alla tre heltal a, b, c är coprime kallas motsvarande Pythagoras triangel primitiv och låt oss för ett ögonblick anta att vi på något sätt lyckades hitta en sådan primitiv triangel a\_0 , b\_0, c\_0.
Eftersom relationen i ( 1 ) inte har några andra fritt flytande termer, följer det att genom att skala alla siffror som bildar en primitiv Pythagoras triangel med samma strängt positiva heltal k:
\ vänster (ka\_0 \ höger) ^ 2 + \ vänster (kb\_0 \ höger) ^ 2 = \ vänster (kc\_0 \ höger) ^ 2 \ tag * {}
vi kommer att få en ny triangel som blir:
- även Pythagoras
- inte primitiv längre (för k> 1)
- liknar dess primitiva primitiva Pythagoras triangel a\_0, b\_0, c\_0
- större än dess primitiva primitiva Pythagoras triangel a\_0, b\_0, c\_0
Det följer sedan att det finns oändligt många icke primitiva Pythagoras trianglar genererade av en (enstaka) given primitiv Pythagoras triangel. En given primitiv Pythagoras triangel är den minsta i dess familj eftersom längden på dess sidor inte kan minskas ytterligare. Inga två distinkta primitiva Pythagoras-trianglar är lika.
Vi observerar i förbigående att vi normalt inte slänger matematiska påståenden på ett tomt sätt – vi bevisar dem just då och där men eftersom fokuset på detta svar inte är bevisen på ovanstående egenskaper tar vi bara för att de är sanna i tro för tillfället (be om relevanta bevis separat om de är intresserade).
Således är det traditionellt av det första intresset att återhämta längderna på sidorna av primitiva Pythagoras trianglar eftersom alla andra Pythagoras trianglar kan genereras från sina primitiva motsvarigheter som förklarats ovan.
Som en övning kan vi visa att en fullständig parametrisering av lösningarna för ( 1 ) ges av:
a = m ^ 2 – n ^ 2, \; b = 2mn, \; c = m ^ 2 + n ^ 2 \ tag {2}
där m och n är alla par av coprime-heltal med motsatt paritet med m> n. motsatt paritet -bit betyder att ett av dessa siffror inte spelar någon roll vilken, måste vara udda, medan den andra – måste vara jämn.
Återigen, om du är intresserad så ställ en separat fråga om varifrån kom ( 2 ) – vi presenterar mer än gärna ett avdrag på detta faktum utanför bandet för att inte förorena det aktuella svaret med för mycket teknisk information.
Det finns en alternativ parameterisering av lösningarna på ( 2 ) som vi också utelämnar här.
Tänk nu på en godtycklig höger triangel med sidorna a och b, hypotenusen c och inradien r (fig. 1):
Om vi lägger till den gröna ekvationen till den blå ekvationen som visas i figur 1 och använder den grå ekvationen för x + y så hittar vi:
c + 2r = a + b \ tag * {}
varifrån:
r = \ dfrac {a + b – c} {2} \ tag {3}
Antag nu att ovanstående righ t triangel är en primitiv Pythagoras triangel. Om vi tar värdena a, b och c från ( 2 ) och lägger dem i ( 3 ) då har vi:
r = \ dfrac {m ^ 2-n ^ 2 + 2mn – m ^ 2 – n ^ 2} {2} \ tag * {}
Här kommer m ^ 2s att avbrytas och n ^ 2s kommer att fördubblas:
r = \ dfrac {2mn – 2n ^ 2} {2} \ tag * {}
Genom att ta bort 2n från nämnaren ovan, når vi:
r = \ dfrac {2n (m – n)} {2} \ tag * {}
det vill säga att:
r = n (mn) \ tag {4}
vilket säger oss att i någon primitiv Pythagoras triangel längden på dess inradie är ett heltal (glöm inte m> n-begränsningen, se ( 2 )) eftersom en skillnad på två heltal är alltid ett heltal och en produkt av två heltal är alltid ett heltal.
Tänk sedan på alla icke-primitiva k-triangeln – det vill säga betrakta en Pythagoras triangel längderna på alla vars sidor har varit skalas upp enhetligt med något strikt positivt heltal k> 1. Eftersom sådana längder går in i ekvationen ( 3 ) som strikt linjära termer, för att få längden på motsvarande inradie är allt vi behöver göra att multiplicera RHS för ( 4 ) av k:
r\_k = kn (mn) \ tag {5}
Hur som helst är längden på inradius av en Pythagoras triangel alltid ett heltal eftersom objekten (siffrorna) på RHS för ( 4 , 5 ) är alltid – skillnaden mellan två heltal är alltid ett heltal och en produkt av två heltal är alltid ett heltal.
Observera att ekvation ( 5 ) kan läsas höger till vänster . Det betyder att vi kan ta heltal k, m, n som en ingång och sedan använda ( 5 ) för att generera en integrerad inradie som utgång.
Låt oss nu försöka gå i motsatt riktning – låt oss se om vi kan göra en beställning på längden på en inradie och baserat på den informationen återhämta längderna på motsvarande Pythagoras triangel.
Tydligen lyckades Pythagoras själv för många år sedan producera en partiell parametrisering av lösningarna för ( 1 ) genom att studera de Pythagoras trianglar vars längder på vars korta sidor bildar en sekvens av på varandra följande udda naturliga tal a = 2n + 1.
I så fall för att de relevanta siffrorna ska vara hela längden på sidan b och längden på hypotenusen c i ett mysterium Pythagoras triangel måste skilja sig åt med en enhet: c = b + 1. Således, från ( 1 ) vi har:
(2n + 1) ^ 2 + b ^ 2 = (b + 1) ^ 2 \ tag * {}
Öppna ovanstående parentes:
4n ^ 2 + 4n + 1 = b ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 \ tag * {}
vi ser att b ^ 2s och 1s avbryts:
4n ^ 2 + 4n = 4n ( n + 1) = 2b \ tag * {}
vilket innebär att:
b = 2n (n + 1), \; c = b + 1 = 2n (n + 1) + 1 \ tag {6}
Sätt tillbaka dessa värden i ( 3 ) , upptäcker vi att:
r = \ dfrac {2n + 1 + 2n ^ 2 + 2n – 2n ^ 2 – 2n – 1} {2} \ tag * {}
r = \ dfrac {2n} {2} = n \ tag {7}
Är det inte trevligt?
Således – sorteringsreferensen.
Med andra ord, om du ger oss något godtyckligt naturligt tal n> 0 kommer vi att kunna skapa en Pythagoras triangel som har exakt de egenskaper du begär:
a = 2n + 1, \; b = 2n (n + 1), \; c = 2n (n + 1) + 1, \; r = n \ tag {8}
vilket betyder att ovanstående familj av formler räknar upp integrallängden för inradien i en triangel med de integrerade längderna på dess sidor via uppsättningen naturliga siffror \ mathbb {N}.
Det betyder också att vi kan skriva ett datorprogram, på, säg, C programmeringsspråk som ett medium, i förväg som genererar de begärda trianglarna på begäran:
#include
#include
extern int
main( int argc, char* argv[] )
{
int i;
int n;
int a;
int b;
int c;
for ( i = 1; i
{
n = atoi( argv[ i ] );
a = 2*n + 1;
b = 2*n*(n + 1);
c = b + 1;
}
return 0;
}
Förutsatt att vi har sparat ovanstående kod i ptr.c -filen, bygg den så:
gcc -g - o ptr ptr.c
och kör det så:
./ptr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
6 13 84 85
7 15 112 113
8 17 144 145
9 19 180 181
10 21 220 221
11 23 264 265
12 25 312 313
13 27 364 365
där för en billig spänning inkluderade vi dramatiskt hypotenusen av längd 365.
Vårt program accepterar en massa naturliga siffror från kommandotolken och för varje sådant nummer n genererar det en pythagoreanTriangel längderna på vars sidor garanterar att längden på den triangelns inradie är lika med ingångens naturliga tal n.
Formatet för vår utgång är: den första kolumnen visar värdet på inradien n, den andra kolumnen visar värdet på a, den tredje kolumnen visar värdet på b och den fjärde kolumnen visar värdet på c.
Dessutom är -området S av våra Pythagoras trianglar:
S = \ dfrac {ab} {2} \ tag {9}
är också garanterat ett heltal eftersom att infoga värdena för a och b från ( 2 ) till ( 9 ), hittar vi:
S = \ dfrac {\ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) 2mn} {2} = \ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) mn \ tag * {}
vilket alltid är ett heltal.
Slutligen är situationen med godtycklig, läs – inte rätt, trianglar mer känsliga.
Om vi delar en sådan triangel i tre mindre trianglar täta, utan mellanrum och utan överlappningar, som visas nedan (fig.2):
då, för i detta fall är helheten lika med summan av dess delar, för området S i en sådan triangel har vi:
S = \ dfrac {ar} {2} + \ dfrac {br} {2} + \ dfrac {cr} {2} \ tag * {}
vilket innebär att:
S = r \ cdot p = \ dfrac {rP} {2} \ tag * {}
om vi håller med om att P är triangelns fullständiga omkrets och att p är triangelns semiperimeter .
Därav följer att för värdet av inradius r har vi:
r = \ dfrac {2S} {P} = \ dfrac {S} {p} \ tag * {}
Således, för att r ska vara ett heltal, måste antingen P heltalsdela 2S eller p måste heltalsdela S.
För argumentets skull, låt oss gå med på att namnge plan icke höger trianglar vars längder har alla sidor är heltal och vars område är ett heltal Diofantin .
Nu finns det (komposit) Diofantintrianglar så att:
- de är kompo sed av två Pythagoras Trianglar längs en gemensam sida och
- längden på deras inradie är inte ett heltal
Bevis: området för den 5, 5, 6 sammansatta diofantiska triangeln, som består av två 3,4,5 Pythagoras trianglar längs b = 4-sidan, är 12, medan längden på sin semiperimeter är 8. Men 8 delar inte heltal 12. \ blacksquare
Där existerar (komposit) Diofantina trianglar så att:
- de är en sammansättning av två Pythagoras trianglar längs en gemensam sida och
- längden på deras inradie är ett heltal
Bevis: området 13,14, 15 komposit Diophantine triangel, som består av två Pythagoras trianglar 5,12,14 och 9,12,15 längs b = 12 sidan, är lika med 84, medan dess semiperimeter är lika med 42. Men 42 gör heltal 84 : 42 \ cdot 2 = 84. \ blacksquare
Det finns (icke-sammansatt?) Diofantiska trianglar så att:
- de kan inte bestå av två Pythagoras trianglar utan
- längden på deras inradie är ett heltal
Bevis: ytan av triangeln 65119 180 är lika med 1638, medan dess semiperimeter är 182. Men 182 delar heltal 1638: 182 \ cdot 9 = 1638.
I en kandidat höger triangel med sidorna a och b, två gånger är arean 2S lika med produkten av a och b, se ( 9 ): 2S = a \ cdot b. Därför måste båda siffrorna a och b dela 2S.
Är detta fallet med vår triangel?
Nej
Ingen av längderna på sidorna av vår triangel delar storleken lika med 1638 \ cdot 2.
Här är varför: primfaktoriseringen av 1638 \ cdot 2 är lika med 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13:
1638 \ cdot 2 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13 \ tag * {}
De primära faktoriseringarna för längderna på sidorna av vår triangel är :
65 = 5 \ cdot 13 \ tag * {}
119 = 7 \ cdot 17 \ tag * {}
180 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 \ tag * {}
Därför kan längden på ingen höjd i vår triangel uttryckas som ett heltal (naturligt) tal och därmed kan en sådan Diofantin-triangel inte består av två Pythagoras trianglar längs en gemensam sida som måste spela rollen som måltriangelns höjd. \ blacksquare
Vi ser att för att göra ett djupgående uttalande om längden på inradien för en diofantin triangel måste vi göra en mer noggrann analys av situationen och, med all sannolikhet, titta på rationella trianglar .
Jag hoppas att jag inte gjorde vår diskussion för komplicerad men det är vad den är – elementär talteori mest.