Bästa svaret
Om något kommer närmare och närmare 7, säger vi att det tenderar att 7. Siffrorna 8, 6.6, 7.1, 6.99, 7.002, 6.9994 och så vidare (föreställ dig att en oändlig sekvens fortsätter på detta sätt) tenderar att 7.
Om något blir större och större utan bunden, säger vi att det tenderar att vara oändligt . Det finns inget behov av att föreställa sig ett verkligt objekt som kallas ”oändlighet”. Uttrycket är bara förkortning för ”växer sig större och större utan bunden”.
Om något blir mindre och mindre utan att vara bundet, säger vi att det tenderar till negativ oändlighet – och med ”mindre” menar jag saker som -1,000,000,000, inte saker som 0,001.
Positiv oändlighet är en symbol som används för att beteckna gränsen för en sekvens eller funktion som så småningom överstiger alla föreskrivna gränser.
Negativ oändlighet gör samma sak för sekvenser som så småningom faller under alla föreskrivna gränser.
Sekvensen av siffrorna 100, 110, 111, 111.1, 111.11 (och så vidare) tenderar inte till oändlighet. Även om det finns oändligt många nummer här, och även om de fortsätter att växa, överstiger de aldrig 200. De överstiger aldrig ens 112. I själva verket tenderar denna sekvens till 111 \ frac {1} {9}. Detta visar att inte alla sekvenser som bara ökar för alltid tenderar till oändlighet, så vi ser tydligare skillnaden mellan ”att tendera till oändlighet” och bara ”monotont ökande”.
Siffrorna 1, 11, 111, 1111, … tenderar att vara oändliga. Oavsett vilken tröskel du väljer så kommer siffrorna i den här sekvensen så småningom att överskrida den tröskeln och falla aldrig igen under den. Denna sekvens tenderar till positiv oändlighet .
Sekvensen 1, 2, 4, 8, 16, … av krafter på 2 tenderar också till positiv oändlighet. Så gör primtalen, de sammansatta siffrorna eller många andra sekvenser.
Sekvensen 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6, … tenderar inte till oändlighet. Även om en viss tröskel så småningom överskrids överskrids den inte för gott. Sekvensen insisterar på att falla tillbaka till 0 så att den inte tenderar till något.
Sekvensen -10, -20, -30, -40, … tenderar att negativ oändlighet. Varje tröskel du vill nämna kommer så småningom att korsas underifrån. Denna sekvens kommer så småningom att falla under -100, och senare kommer den att falla under -1,000,000, och vid någon tidpunkt kommer den till och med att falla under negativ googolplex och när den gör det kommer den aldrig att stiga över den. Detta är vad ”tenderar till negativ oändlighet”.
Samma uttryck används för begränsningar av funktioner. Eftersom x tenderar att 0, tenderar funktionen \ frac {1} {x ^ 2} till positiv oändlighet, medan funktionen – \ frac {1} {x ^ 2} tenderar till negativ oändlighet. Detta betyder bara att för alla tillräckligt små värden på x kan den första funktionen göras godtyckligt stor och den andra godtyckligt små.
Funktionen 1 / x tenderar inte att ha något som x tenderar till 0. Om vi begränsar x till att vara positivt och tenderar till 0, då tenderar funktionen att vara positiv oändlighet. Tänk på det ömsesidiga a på 1, sedan 1/2, sedan 1/10 och så vidare. Om vi tvingar x att vara negativ och tenderar att 0, funktionen tenderar också till negativ oändlighet. Detta bör vara meningsfullt när man tittar på diagrammet.
Svara
”Negativ oändlighet” och ”positiv oändlighet” är termer som matematiker använder när de talar om gränser för sekvenser .
En sekvens är bara en lista med siffror som \ frac {1} {2}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {5}, ….
A limit är ett tal som en sekvens kommer närmare och närmare utan att helt nå det. Du kan till exempel se att sekvensen ovan kommer närmare och närmare noll, men aldrig når den helt. (Det viktigaste är att du kan få så nära du vill till noll om du fortsätter tillräckligt länge. Det är det som gör noll” till ”gränsen ).
Vissa sekvenser, som den jag skrev ovan, har en gräns. Andra har inte – till exempel den ganska tråkiga sekvensen 1, -1, 1, -1, 1, -1 , … har inget nummer som det kommer närmare och närmare. Det går egentligen inte någonstans alls. Det har ingen gräns.
Vad sägs om en sekvens som 1, 2, 3, 4, …? Den går definitivt någonstans (den går inte bara runt i cirkel som föregående sekvens) – men vart går det?
Matematiker tycker att det är användbart att ha ett namn för vart sekvensen går. De säger att sekvenser som den har gör en gräns, och de kallar den gränsen ”oändlighet” (annars känd som ”positiv oändlighet” – samma sak).Om gränsen för en sekvens är oändlighet betyder det bara att den fortsätter att bli större och hur stort ett nummer du tänker på, om du fortsätter tillräckligt länge blir det större än så. Oavsett vilket diagram du använder, går det från diagrammet.
Om du föreställer dig alla siffror ordnade i en rad med noll i mitten, så här:
… då betyder positiv oändlighet” utanför den högra änden av raden ”. Det är där min tredje sekvens går.
Jag förväntar mig att du nu har gissat vad negativ oändlighet är. Det är gränsen för en sekvens som -1, -2, -3, -4,. … Det betyder bara ”utanför den vänstra änden av raden”.
Enkelt så.