Bästa svaret
Rationella tal är relativt enkla. De är ett ordnat par av heltal (m, n) med n \ neq0 under ekvivalensrelationen:
\ quad (a, b) \ equiv (c, d) \ Leftrightarrow ad = bc
Vad? Det var tänkt att vara enkelt? Men ja. Allt som likvärdighet gobbledygook var bara för att se till att en halv var hälften oavsett om det var (1,2) eller (2,4) eller till och med (-33, -66). Och det skulle alla kännas mer bekant om jag skrev det som \ frac12 = \ frac24 snarare än (1,2) \ equiv (2,4) eftersom 1 \ times4 = 2 \ times2. Men, strängt taget, det är vad en rigorös definition av rationella siffror börjar med.
Nu när de enkla grejerna behandlas, vad är ett reellt tal? Trots deras namn och deras allestädesrika verkliga tal är ganska komplicerade djur. Kanske är den enklaste konstruktionen som kartläggs efter vår intuition den av Dedekind skär . En Dedekind-klippning av de rationella siffrorna, \ Q, är en partition i två icke-tomma uppsättningar (A, B) så att A \ cup B = \ Q, varje element i A är strikt mindre än varje element i B, och A har inget största element. Jag vet att ditt huvud redan snurrar, men idé är väldigt enkelt: vi skär bara sifferraden någon gång – alla rationella till vänster är i A och alla rationals till höger (eller vid poängen) är i B. Om B har minst element var vårt snitt på ett rationellt tal. Om B inte inte har minst element var vår klippning på Irrationellt nummer. Följande representerar s Dedekind-klippningen för kvadratrot av två (ett irrationellt tal):
(Källa: Fil: Dedekind cut- kvadratrot av two.png – Wikipedia )
Hur som helst skärsnittet, (A, B), representerar ett reellt tal. Eftersom B = \ Q \ setminus A, kan vi representera ett reellt tal av A själv: en icke-tom uppsättning av rationella tal som stängs nedan och har inget största element. I någon mening fyller de irrationella realtalen ”luckorna” i de rationella siffrorna.
Ett problem med denna intuition av ”luckor” är att de rationella siffrorna är täta i realerna – mellan två olika distinkta realtal det finns en rationell (faktiskt oändligt många rationella). Detta kan få dig att tro att det finns minst lika många rationella nummer som det finns irrationella nummer. Men nej, kardinaliteten för uppsättningen irrationella nummer är strikt större än den för uppsättningen rationella nummer. På något sätt förenas det verkliga numret ”i slutet” av uppsättningen A med rationella nummer av en mängd andra reella tal som jag inte kan beskriva i förhållande till uppsättningen A. Som sagt är verkliga tal komplicerade djur: de flesta av dem kan inte ens beskrivas trots deras förmodade ”verklighet”.
Jag antyder en grundläggande skillnad mellan rationella tal och verkliga siffror som verkligen kräver en examen i matematik för att förstå ordentligt, men jag hoppas att du har åtminstone en smak av skillnaden om inte en fullständig uppskattning av finesserna.
Svar
Verkliga tal är tal mellan de rationella siffrorna . Vad betyder det uttalandet egentligen?
Betrakta kvadratroten av 2. Det kan visas att det inte är rationellt. Men vi kan ta reda på vad dess värde är, i vilken grad som helst, genom att identifiera alla rationella som är lägre än det, och alla rationaler högre än det. Det är mellan två uppsättningar rationella siffror.
Det är sant för alla reella tal – om det inte också är rationellt. För alla verkliga tal finns det en uppsättning rationella tal som alla är mindre än eller lika med det, och en annan uppsättning rationella som alla är större än eller lika med det, och varje rationell är i den ena eller den andra av dessa två uppsättningar . Den typen av rationals partition är nyckeln till att konstruera de verkliga siffrorna från rationalsna med hjälp av Dedekind-snitt.
Tänk på två uppsättningar rationella tal, L (lägre) och H (högre), så att varje tal i H är högre än varje nummer i L, och de två uppsättningarna tillsammans inkluderar varje rationellt tal. Vi vet att sådana uppsättningar L och H finns för varje verkligt tal som vi kan beräkna algebraiskt, men det är inte de enda sådana uppsättningar.
I allmänhet kan L ha det högsta talet, Lmax ,, eller H kan ha det lägsta antalet Hmin. I dessa fall skulle Lmax eller Hmin vara den övre gränsen för L och den nedre gränsen för H, och det skulle vara rationell. Om varken Lmax eller Hmin existerar – och vi vet att de inte kommer att göra om vi skapade uppsättningarna från ett känt irrationellt tal – definierar vi den övre gränsen för L (som också är den nedre gränsen för H) som ett reellt tal.
Faktum är att varje gång vi approximerar ett irrationellt tal med en decimalfraktion skapar vi en sådan partition. Om vi till exempel säger att ett irrationellt tal är 1.2345…, säger vi att det är större än 1,2345 men mindre än 1.2346, och när vi skriver fler siffror i decimalutvidgningen lägger vi till fler tal i uppsättningarna som är större än och mindre än.
Med hjälp av dessa decimalutvidgningar kan vi härleda en viktig skillnad mellan de rationella siffrorna och riktiga nummer. De rationella siffrorna är räknas ; det vill säga de kan placeras i en-till-en-korrespondens med heltalen. De verkliga siffrorna räknas inte.
Vad är skillnaden mellan verkliga och rationella tal?