Bästa svaret
Till Abhinav Rk: du skickade den här frågan för nästan tre år sedan, så kanske du är inte längre intresserade av ett svar. Jag anser dock att din fråga har missförstått i andra försök att svara på den. Jag tror att du ber om den matematiska formeln som kodas i Excel av PMT-funktionen när det finns ett icke-noll framtida värde FV. När jag undersökte din fråga kunde jag inte hitta ett enda exempel där en sådan beräkning gjordes, än mindre en diskussion om matematiken bakom den. Här är mitt försök att förstå problemet, med ansvarsfriskrivningen att jag bara känner till de enklaste möjliga presentationerna av finansiell matematik, och för det mesta litar jag på kapitel 8 i grundboken ”Thinking Mathematically” av Robert Blitzer, 7: e upplagan, Pearson, 2019. Jag är på inget sätt en expert på finansiell matematik.
Antag att vi börjar med formeln för beräkning av den periodiska betalningen ( insättning) till ett livräntekonto som krävs för att uppnå en livränta A. Detta ges av
\ begin {ekvation} PMT \, = \, \ dfrac {A \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ höger)} {\ vänster [\ vänster (1+ \ dfrac {r} {n} \ höger) ^ {nt} – 1 \ höger]}. \ tag {1} \ end {ekvation}
där r är räntan uttryckt som ett decimal, n är antalet betalningar per år (till exempel n = 12 om månadsbetalning / insättningar görs gjort) och t är antalet år för vilken betalningen görs. Som referens är produkten n \ gånger t lika med variabeln ”Nper” som används i Excel.
Om ett belopp PV lånas på ett lån, ges det framtida värdet på lånet under dessa förhållanden med sammansatt formel:
\ begin {ekvation} FV\_0 \, = \, PV \, \ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ höger) ^ {nt}. \ tag {2} \ end {equation}
Normalt vill du betala lånet med en betalning som är lika med insättning som skulle krävas för att uppnå en livränta som motsvarar detta framtida värde, A = FV\_0, i vilket fall det framtida värdet på lånet skulle reduceras till FV\_0 = 0 (jag skiljer detta framtida värde med ett 0-abonnemang, som förmodligen ser ganska obekant ut, men jag tror att denna notation gör matematiken mer förståelig).
Om du emellertid vill göra en betalning som lämnar en obetald del av lånet, det vill säga ett icke-noll framtida värde FV av lånet måste du ställa in betalningar på en livränta A som minskar det framtida värdet till FV = FV\_0 – A. Lös detta för A, livränta som ska ersättas i ekvation (1) är då A = FV\_0 – FV, och betalningen ges av
\ begin {ekvation} PMT \, = \, \ dfrac {(FV\_0 – FV) \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ höger)} {\ vänster [\ vänster (1+ \ dfrac {r} {n} \ höger) ^ {nt} – 1 \ höger]}. \ tag {3} \ end {ekvation}
Ersätter FV\_0 från ekvation (1), detta kan skrivas som
\ begin {ekvation} PMT \, = \, \ dfrac {(PV \ times C \, – \, FV) \, left (\ dfrac {r} {n} \ right)} {C – 1}, \ tag {4} \ end {ekvation}
där
\ börjar {ekvation} C \, = \, \ vänster (1+ \ dfrac {r} {n} \ höger) ^ {nt} \ tag {5} \ slut {ekvation}
är sammansättningsfaktorn.
I Abhinav Rks svar ges ett exempelproblem med huvudvärde PV = 30000, r = 6,5 \\% = 0,065, t = 5 år och FV = -9000. Han fortsätter med hänvisning till den betalning som krävs för detta exempel genom att fråga ”Hur beräknar jag detta manuellt”? Excel ger honom värdet $ 459 som lösning.
För hans exempel hittar jag för sammansättningsfaktorn (notera att för att använda formeln I härledd måste det framtida värdet tas positivt: FV = 9000):
\ begin {ekvation} C \, = \ , \ left (1+ \ dfrac {0.065} {12} \ right) ^ {12 \ times 5} = 1.382817, \ tag * {} \ end {ekvation}
och när detta ersätts med ekvation (4) Jag får
\ begin {ekvation} PM T \, = \, \ dfrac {(30000 \ gånger 1.382817 – 9000) \, \ left (\ dfrac {0.064} {12} \ höger)} {0.382817} = \ $ 459,64, \ tag * {} \ end {ekvation }
överensstämmer med vad han fick med Excel.
Förutsatt att jag har utvecklat ekvationerna korrekt hoppas jag att det kan vara till hjälp för dig eller andra som är intresserade av samma fråga.
Svar
Från den officiella Excel 2016-hjälpen:
PMT-funktion – Office-support
Syntax
PMT (hastighet, nper, pv, [fv], [typ])
Obs: För en mer fullständig beskrivning av argumenten i PMT, se PV-funktionen.
PMT-funktionens syntax har följande argument:
- Pris krävs. Räntesatsen för lånet.
- Nper Krävs. Det totala antalet betalningar för lånet.
- Pv Krävs.Nuvärdet, eller det totala belopp som en serie av framtida betalningar är värda nu; även känd som huvudmannen.
- Fv Valfritt. Det framtida värdet eller ett kontantsaldo som du vill uppnå efter den senaste betalningen. Om fv utelämnas antas det vara 0 (noll), det vill säga det framtida värdet på ett lån är 0.
- Typ Valfritt. Siffran 0 (noll) eller 1 och anger när betalningar ska betalas.
- Ställ in typen lika med:
- 0 eller utelämnas Om betalningar förfaller I slutet av perioden
- 1 Om betalningar förfaller I början av perioden
Matematiskt kan detta implementeras som:
pmt = Rate * (Fv * -1 + Pv * (1 + Rate) ^ Nper)) / ((1 + Rate * Type) * (1- (1 + Rate) ^ Nper)
Make se till att enheterna i Nper & Rates är konsekventa och lämpligt inflöde / utflöde av kontanter redovisas.
Nedan är den enklare ekvationen (utan Fv & typ) https://en.wikipedia.org/wiki/Equated\_monthly\_installment
PMT = (Pv * Rate * (1+ Rate) ^ Nper) / [(1 + Rate) ^ Nper – 1]