Bästa svaret
Varför används k som konstanta proportionalitet?
Inte bara k . a, b, c, d, m, n, p, q är några bokstäver i romerska alfabetet som ofta används som konstanter.
\ alfa, \ beta, \ gamma, \ eta, \ kappa, \ lambda, \ mu, \ pi, \ rho, \ tau och \ omega är några ofta använda bokstäver i grekiska alfabetet som konstanter.
Tillbaka till din fråga – ingen vet säkert varför. Men jag tror starkt att k används som konstant nästan överallt, eftersom det tyska ordet för ”konstant” är konstante https://translate.google.com/#en/de/constant . Och gissa vad? första bokstaven i det ordet är k . Och tyskarna bidrog enormt i matematiken sedan dess början.
Jag får tro på det här sättet, inte bara proportionalitetskonstant k betecknar också vissa angivna konstanterhttps: //en.wikipedia.org/wiki/Mathematical\_constant. Såsom- Boltzmann-konstant , Sierpińskis konstant , Khinchins konstant , Landau – Ramanujan-konstant – för att nämna några. Jag kan bara gissa att de (de berörda matematikerna eller de som namngav dem) var medvetna om och påverkades av det tyska ordet konstante.
Det är allt. Tack för att du läste.
Svar
Den här frågan belyser snyggt hur fysik skiljer sig från matematik.
Kom ihåg att syftet med alla fysiska ekvationer, inklusive Newtons andra lag, är helt enkelt att modellera ett förhållande ”i den verkliga världen”. Det betyder vilka mängder vi väljer att vara konstanta och vilka vi väljer att vara variabla beror helt på den fysiska situation som ekvationen är tänkt att modellera.
Med det i åtanke, låt oss komma till Newtons andra lag. Newton själv uttryckte inte ursprungligen sin lag på det sättet. Snarare uttryckte han det (i ord) som
\ mathbf {F} = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt}
Where \ mathbf {F} är kraften (notera, Kraft är en vektor), \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} är hastigheten för förändring av momentum \ mathbf {p} (även en vektor).
Det är möjligt att tolka detta som en definition för kraft, och under den tolkningen är det inte riktigt meningsfullt att infoga en proportionalitetskonstant eftersom en definition av en mängd typiskt säger oss i de mest direkta termerna vad den kvantiteten är i termer av en annan kvantitet.
Som skrivet är detta naturligtvis en uppsättning av tre ekvationer, som anger kraftens riktning i rymden. Men i många situationer är situationens fysik sådan att vi bara kan vara intresserade av kraftens storlek, och sedan förenklar detta till
F = \ frac {dp} {dt}
Nu ges storleken på momentum av p = mv. Det mest allmänna uttrycket för tidsderivatet av denna kvantitet är
\ frac {dp} {dt} = v \ frac {dm} {dt} + m \ frac {dv} {dt}
Den första termen till höger representerar ett objekt som rör sig med konstant hastighet medan dess massa förändras, medan det andra representerar ett objekt med en konstant massa som rör sig med en förändrad hastighet. Nu är de situationer som vi oftast är intresserade av att modellera att massan av objektet blir konstant. Det betyder
\ frac {dm} {dt} = 0
Och därför försvinner den första termen. Vi sitter kvar med
F = m \ frac {dv} {dt} = ma
Och nu borde det vara uppenbart: I denna ekvation är proportionalitetskonstanten m .
Om vi i stället skulle vilja modellera, säg, en raket som rör sig med konstant hastighet men som förlorar massa (det vill säga dess massa förändras över tiden) eftersom det matar ut bränsle som avgas som driver det framåt skulle vi istället skriva
F = v \ frac {dm} {dt}
Eftersom en konstant hastighet betyder
\ frac {dv} {dt} = 0
Och därmed försvinner den andra termen i det allmänna uttrycket ovan. Så, i denna ekvation är proportionalitetskonstanten v.
Vad jag visar, hoppas jag, är att vad vi än anser vara den konstanta proportionaliteten beror helt på händelserna i den verkliga världen och förhållandena mellan dem. Till exempel blev m en konstant proportionalitet mellan storleken av kraft och acceleration just för att vi ville modellera en situation där objektets massa var konstant.På samma sätt blev v en konstant proportionalitet mellan storleken på kraften och tidens förändring av massan just för att vi ville modellera den typen av situation.
Låt mig kontrastera detta med hur en rent matematisk metod. kan se ut. Kom ihåg att skillnaden nu är att vi inte bryr oss om att ekvationerna modellerar verkligheten, vi bryr oss bara om att de är konsekventa (och naturligtvis att de leder till ny intressant matematik). Så när jag bara gör matte är jag helt fri att överväga massa i vilka enheter jag vill ha. För att få poängen hem, låt oss välja något löjligt, som ”klumpar” som massenheter. För att bevara konsistensen (och bara av den anledningen) måste jag definiera förhållandet mellan klumpar och standardenheter som kilo. Låt oss säga att jag definierar
1 kilogram = 3 Blobs
Nåväl, med mina nya enheter måste jag nu införa en proportionalitetskonstant i ekvationen, eftersom enheterna Force, Newtons , har inte klumpar i dem. Så med tanke på massa i enheter av klumpar, förkortat med bb, blir F = ma
F = \ frac {1} {3} kma
Var
k = \ frac {1kg} {1bb} är min proportionalitetskonstant. Eller, om jag är lite mer matematiskt effektiv skriver jag
F = k ”ma
Where
k” = \ frac {1kg} {3bb } är min nya proportionalitetskonstant som bara absorberade konstanten \ frac {1} {3}.
Poängen med allt detta är att dessa manipulationer är rent matematiska. Skillnaderna involverade har inget att göra med de verkliga förhållandena som ekvationen är tänkt att modellera. De har inget fysikinnehåll och det är därför du i princip aldrig ser något liknande *.
I de flesta situationer är de enda konstanterna av proportionalitet du ser i fysiken de som tvingas på oss av fysiken i situation.
(* Jag säger ”väsentligen” eftersom det finns vissa situationer, särskilt inom elektromagnetism, där sådana problem uppstår på grund av olika traditioner för att representera kvantiteter, men de flesta fysiker anser dem inte som ”fysikproblem” )