Bästa svaret
En nämnare på 3 innebär intuitivt att antalet ”delas” i tre lika delar. 27 dividerat med 3 är 9. Det vill säga var och en av de 3 grupperna är lika med 9.
2/3 indikerar att av de 3 grupperna på 9 är det bara 2 av de 3 grupperna som är bekymmersamma. Därför är 2/3 9 + 9 = 18.
2/3 av 27 är 18.
Svar
John K Williamsson gav ett bra svar: för vad han kallade den ”smutsiga summan” av \ frac {1} {2} och \ frac {8} {9} (den matematiska termen för det är mediant ):
\ frac {1} {2} frac {1 + 8} {2 + 9} frac {8} {9}
Han föreslår att använd algebra för att bevisa mediant ojämlikhet : om a, b, c, d är positiva tal och
\ frac {a} {b } frac {c} {d}
sedan
\ frac {a} {b} frac {a + c} {b + d} frac { c} {d}.
Jag vill tillägga att den mediant ojämlikheten på grundskolanivå inte behöver ett algebraiskt bevis, det är tillräckligt självklart.
Faktiskt betrakta fraktioner \ frac {1} {2} och \ frac {8} {9} som beskrivningar av verkliga situationer:
\ frac {1} {2}: 2 barn har 1 påse frukt .
\ frac {8} {9}: 9 barn har 8 påsar frukt.
De kommer ihop och delar lika: 1 + 8 påsar frukt mellan 2 + 9 = 11 barn, det vill säga de bildar mediant:
\ frac {1 + 8} {2 + 9}
Vilken grupp barn förlorar och vilken vinner i denna delning? Naturligtvis 2 barn med 1 väska: de har \ frac {1} {2} väskor per huvud, den andra gruppen har större andel per huvud: \ frac {8} {9}. Av samma anledning förlorar barn i den andra gruppen.
Jag använder ett exempel med barn och påsar med godis i mina föreläsningar. här ersatte jag godis med mer politiskt korrekta frukter – kanske måste jag gå längre och använda gröna grönsaker istället för frukt. Den ursprungliga idén tillhörde den stora Israel Gelfand, och uttalades på ett mer färgstarkt språk:
Du kan förklara matematik för alla, även för berusade. Om du frågar vissa människor som dricker vodka på en parkbänk, vad är större, \ frac {2} {3} eller \ frac {3 } {4} , kommer de att svara med beskrivningar. Men om du frågar dem, vad är bättre, 2 flaskor vodka för 3 människor eller 3 flaskor vodka för 4 människor, de kommer omedelbart att ge dig rätt svar: av kurs, 3 flaskor för 4 personer.
Och denna omedelbara slutsats kommer från ett argument som är vändningen av det informella beviset på den mediant ojämlikheten: hur kommer man från situationen ”2 flaskor för 3 personer” till situationen ”3 flaskor för 4 personer”? Naturligtvis betyder det att en fjärde man kommer och tar med sig en hel flaska – kan du föreställa dig en hel flaska vodka! I mediant ojämlikhet,
\ frac {2} {3} frac {2 + 1} {3 + 1} frac {1} {1},
eller
\ frac {2} {3} frac {3} {4} .
Jag har sett några papper som bekräftar att detta är ett typiskt aritmetiskt mönster tänka, som gjort av ”normala” människor i verkliga situationer (till exempel har jag sett ett påstående att det används av sjukhussjuksköterskor för att jämföra doser av medicin, vilken som är större och vilken som är mindre).