Beste Antwort
Ein reguläres Fünfeck tesselliert nicht.
Damit ein reguläres Polygon Scheitelpunkt zu Scheitelpunkt tesselliert, das Innere Der Winkel Ihres Polygons muss sich gleichmäßig um 360 Grad teilen. Da 108 360 nicht gleichmäßig teilt, tesselliert das reguläre Fünfeck nicht auf diese Weise.
Der Versuch, einen der Scheitelpunkte irgendwo auf einer Kante anstatt auf dem Scheitelpunkt zu platzieren, funktioniert aus ähnlichen Gründen nicht Es passt jedoch nicht zusammen.
Es gibt jedoch viele Pentagone, die tessellieren, wie im folgenden Beispiel, in dem Scheitelpunkt zu Scheitelpunkt gekachelt wird. Sie können sehen, dass sich die Winkel aller Polygone um einen einzelnen Scheitelpunkt auf 360 Grad summieren.
Überprüfen der Winkelbedingung ist Dies ist nicht die einzige erforderliche Bedingung, um festzustellen, ob Polygone tessellieren, aber es ist sehr einfach zu überprüfen.
Antwort
Nur drei reguläre Polygone tessellieren: gleichseitige Dreiecke, Quadrate und reguläre Sechsecke.
Kein anderes reguläres Polygon kann aufgrund der Winkel der Ecken der Polygone tessellieren. Um eine Ebene zu tessellieren, muss sich eine ganzzahlige Anzahl von Flächen an einem Punkt treffen können. Für reguläre Polygone bedeutet dies, dass der Winkel der Ecken des Polygons um 360 Grad geteilt werden muss. Außerdem muss für alle konvexen Polygone die Summe der Außenwinkel 360 Grad betragen, und für reguläre Polygone bedeutet dies, dass die Außenwinkel gleich sein müssen und sich auf 360 Grad summieren müssen. Dies bedeutet, dass der Innenwinkel eines regulären n-Gons 180 ^ \ circ – \ frac {360 ^ \ circ} / n beträgt. Die Anzahl der regulären n-Gons, die Sie um eine Ecke passen können, ist daher \ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} { 180 ^ \ circ n – 360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2} und ist nur möglich, wenn dies eine ganze Zahl ist
Gleichseitige Dreiecke haben 3 Seiten, sodass Sie \ frac {2 (3)} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6 gleichseitige Dreiecke um einen Punkt anpassen können. Eine Tessellation ist nicht ausgeschlossen.
Quadrate haben 4 Seiten, sodass Sie \ frac {2 (4)} {4–2} = 8/2 = 4 Quadrate um einen Punkt anpassen können. Tessellation ist nicht ausgeschlossen.
Pentagone haben 5 Seiten, sodass Sie \ frac {2 (5)} {5–2} = 10/3 Pentagone um einen Punkt herum anbringen können. Dies ist keine Ganzzahl, daher ist eine Tessellation nicht möglich.
Sechsecke haben 6 Seiten, sodass Sie \ frac {2 (6)} {6–2} = 12/4 = 3 Sechsecke anpassen können. Tessellation ist nicht ausgeschlossen.
Aber mehr Seiten als das? Nun, das ist nicht möglich. Beachten Sie, dass \ frac {2 (n + 1)} {(n + 1) -2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2} und dass 2 < \ frac {2n} {n-2}, also haben Sie für n> 6 2 frac {2n} {n-2} frac {2 (6)} {6–2} = 3, also für Bei normalen Heptagonen, Achtecken, Nonagonen usw. konnte keine ganzzahlige Anzahl von ihnen um einen Punkt herum angebracht werden.
Dies bedeutet nicht, dass es keine Pentagone, Heptagone, Achtecke usw. gibt, die nur tessellieren keine regulären Pentagone, regulären Heptagone oder regulären Achtecke usw.