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Warum wird k als Proportionalitätskonstante verwendet?
Nicht nur k . a, b, c, d, m, n, p, q sind einige Buchstaben im römischen Alphabet, die häufig als Konstanten verwendet werden.
\ alpha, \ beta, \ gamma, \ eta, \ kappa, \ lambda, \ mu, \ pi, \ rho, \ tau und \ omega sind einige häufig verwendete Buchstaben im griechischen Alphabet als Konstanten.
Zurück zu Ihrer Frage – niemand weiß genau warum. Ich bin jedoch der festen Überzeugung, dass k fast überall als Konstante verwendet wird, da das deutsche Wort für „Konstante“ ist konstante https://translate.google.com/#en/de/constant . Und weißt du was? Der erste Buchstabe dieses Wortes ist k . Und die Deutschen haben seit Anbeginn einen enormen Beitrag zur Mathematik geleistet.
Ich muss auf diese Weise glauben, dass nicht nur die Proportionalitätskonstante k bezeichnet auch einige angegebene Konstantenhttps: //en.wikipedia.org/wiki/Mathematical\_constant. B. Boltzmann-Konstante , Sierpińskis Konstante , Khinchins Konstante , Landau-Ramanujan-Konstante – um nur einige zu nennen. Ich kann nur vermuten, dass sie (die betroffenen Mathematiker oder diejenigen, die sie benannt haben) das deutsche Wort konstante.
Antwort
Diese Frage zeigt deutlich, wie sich Physik von Mathematik unterscheidet.
Denken Sie daran, dass der Zweck jeder Gleichung in der Physik, einschließlich des zweiten Newtonschen Gesetzes, einfach darin besteht, eine Beziehung „in der realen Welt“ zu modellieren. Das bedeutet, dass welche Größen wir als konstant und welche als variabel wählen, vollständig von der physikalischen Situation abhängt, die die Gleichung modellieren soll.
In diesem Sinne kommen wir zu Newtons zweitem Gesetz. Newton selbst hat sein Gesetz ursprünglich nicht so ausgedrückt. Er drückte es vielmehr (in Worten) aus als
\ mathbf {F} = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt}
Wo \ mathbf {F} ist die Kraft (beachten Sie, Kraft ist ein Vektor), \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} ist die Änderungsrate des Impulses \ mathbf {p} (auch ein Vektor).
Es Es ist möglich, dies als Definition für Kraft zu interpretieren, und unter dieser Interpretation ist es nicht wirklich sinnvoll, eine Proportionalitätskonstante einzufügen, da eine Definition einer Größe typischerweise sagt uns in den direktesten Begriffen, was diese Größe in Bezug auf eine andere Größe ist.
Wie geschrieben, ist dies natürlich ein Satz von drei Gleichungen, die die Richtung der Kraft im Raum angeben. In vielen Situationen ist die Physik der Situation jedoch so, dass wir möglicherweise nur an der Größe der Kraft interessiert sind, und dies vereinfacht sich dann zu
F = \ frac {dp} {dt}
Nun ist die Größe des Impulses gegeben durch p = mv. Der allgemeinste Ausdruck für die Zeitableitung dieser Größe ist
\ frac {dp} {dt} = v \ frac {dm} {dt} + m \ frac {dv} {dt}
Der erste Term rechts repräsentiert ein Objekt, das sich mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt, während sich seine Masse ändert, während der zweite ein Objekt mit einer konstanten Masse darstellt, die sich mit einer sich ändernden Geschwindigkeit bewegt. In den Situationen, in denen wir normalerweise am häufigsten an der Modellierung von interessiert sind, wird die Masse des Objekts als Konstante angenommen. Das bedeutet
\ frac {dm} {dt} = 0
Und daher verschwindet der erste Term. Wir bleiben mit
F = m \ frac {dv} {dt} = ma
und jetzt sollte es offensichtlich sein: In dieser Gleichung ist die Proportionalitätskonstante m .
Wenn wir stattdessen beispielsweise eine Rakete modellieren wollten, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt, aber an Masse verliert (d. H. seine Masse ändert sich im Laufe der Zeit), weil er Kraftstoff als Abgas ausstößt, das ihn vorwärts treibt, würden wir stattdessen
F = v \ frac {dm} {dt}
schreiben, weil Eine konstante Geschwindigkeit bedeutet
\ frac {dv} {dt} = 0
. Daher verschwindet der zweite Term im obigen allgemeinen Ausdruck. Also, in dieser Gleichung ist die Proportionalitätskonstante v.
Ich hoffe, dies zeigt, was auch immer wir betrachten Die Konstante der Verhältnismäßigkeit hängt vollständig von den Ereignissen in der realen Welt und den Beziehungen zwischen ihnen ab. Zum Beispiel wurde m eine Proportionalitätskonstante zwischen den Größen von Kraft und Beschleunigung, gerade weil wir eine Situation modellieren wollten, in der die Masse des Objekts konstant war.In ähnlicher Weise wurde v eine Proportionalitätskonstante zwischen der Größe der Kraft und der zeitlichen Änderungsrate der Masse, gerade weil wir diese Art von Situation modellieren wollten.
Lassen Sie mich dies einem rein mathematischen Ansatz gegenüberstellen könnte aussehen wie. Denken Sie daran, der Unterschied besteht nun darin, dass es uns nicht wirklich wichtig ist, dass die Gleichungen die Realität modellieren, sondern nur, dass sie konsistent sind (und natürlich zu neuer interessanter Mathematik führen). Wenn ich nur rechne, kann ich die Masse in allen gewünschten Einheiten berücksichtigen. Um den Punkt nach Hause zu bringen, wählen wir etwas Lächerliches, wie „Blobs“ als Masseneinheiten. Um die Konsistenz zu erhalten (und nur aus diesem Grund), muss ich die Beziehung zwischen Blobs und Standardeinheiten wie Kilogramm definieren. Angenommen, ich definiere
1 Kilogramm = 3 Blobs
Nun, mit meinen neuen Einheiten muss ich jetzt eine Proportionalitätskonstante in die Gleichung einfügen, da die Krafteinheiten Newton sind , habe keine Blobs in ihnen. Unter Berücksichtigung der Masse in Einheiten von Blobs, abgekürzt mit bb, wird F = ma zu
F = \ frac {1} {3} kma
Wobei
k = \ frac {1kg} {1bb} ist meine Proportionalitätskonstante. Oder wenn ich etwas mathematisch effizienter bin, schreibe ich
F = k „ma
Wobei
k“ = \ frac {1kg} {3bb } ist meine neue Proportionalitätskonstante, die gerade die Konstante \ frac {1} {3} absorbiert hat.
Der Sinn all dessen ist, dass diese Manipulationen rein mathematisch sind. Die damit verbundenen Unterscheidungen haben nichts mit den realen Beziehungen zu tun, die die Gleichung modellieren soll. Sie haben keinen physikalischen Inhalt und deshalb sehen Sie so etwas im Wesentlichen nie *.
In den meisten Situationen sind die einzigen Proportionalitätskonstanten, die Sie in der Physik sehen, diejenigen, die uns von der Physik der Physik aufgezwungen werden Situation.
(* Ich sage „im Wesentlichen“, weil es einige Situationen gibt, insbesondere im Elektromagnetismus, in denen solche Probleme aufgrund unterschiedlicher Traditionen der Darstellung von Größen auftreten, die meisten Physiker sie jedoch nicht als „physikalische Probleme“ betrachten. )