Beste Antwort
Beachten Sie die geschlossenen und offenen Kreise. Der offene Kreis bei einem y-Wert bedeutet, dass dies kein Wert der Funktion ist, wenn Sie x einstecken. Zum Beispiel ist f (−1) = – 4, da sich dort der durchgezogene Kreis befindet. Zusätzlich ist f (3) undefiniert, da es bei x = 3 keinen durchgezogenen Kreis gibt. Aber was ist mit den Grenzen?
Aus dem obigen Bild sehen wir, dass limx → 3 – f (x) = 2 und limx → 3 + f (x) = 2, also limx → 3f (x) = 2, obwohl f (3) undefiniert ist! Auch hier spielt es keine Rolle, was passiert, wenn x = 3 ist, nur was in der Nähe dieses Werts passiert!
Allerdings ist limx → −1 – f (x) = – 4 und limx → −1 + f (x) = 2. Daher existiert limx → −1f (x) nicht, obwohl f (−1) = – 4.
Antwort
Offene Punkte (hohl) sind an dem angegebenen Punkt undefiniert , während geschlossene Punkte (gefüllt) an dem gegebenen Punkt definiert werden. Dies bedeutet, dass beim entsprechenden x-Wert ein y-Wert für die Funktion am Punkt existiert, wenn der Punkt geschlossen ist.
x = 5 ist ein Punkt der Diskontinuität in dieser Funktion, da sowohl offen als auch Geschlossene Punkte existieren bei x = 5 bei verschiedenen y-Werten. Oft ist dies ein Zeichen für eine stückweise Funktion. Am geschlossenen Punkt existiert x = 5 und y. Am offenen Punkt wird jedoch x = 5 und y an einem anderen Punkt definiert, als es die Grenze um x = 5 vermuten lässt.
Trotzdem kann immer noch eine doppelseitige Grenze bei x = 5 genommen werden Diskontinuität. Einseitige Grenzen von links und rechts können genommen werden. Sie liefern die gleichen Ergebnisse, weshalb ein doppelseitiges Limit verwendet werden kann.
Dies ist ein Beispiel für eine entfernbare Diskontinuität, da das Limit vorhanden ist, die Funktion jedoch nicht kontinuierlich, da der Grenzwert nicht dem tatsächlichen Wert der Funktion entspricht. Diese Diskontinuitäten können häufig auf rationale Funktionen zurückzuführen sein, die ansonsten wie Polynome aussehen.