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Antwort
Die grundlegende Sache über dezimal ist, dass es nur ein von viele Formen zur Darstellung von Zahlen. Es ist jedoch eine so häufige Form, dass viele (ohne eigenes Verschulden) die Nummer mit der Form selbst verknüpfen. Und wenn zwei Zahlen zwei verschiedene Formen haben, müssen sie unterschiedliche Zahlen sein, oder?
Aber was ist mit den folgenden zwei Zahlen:
\ displaystyle {\ qquad \ frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {und} \ quad \ frac {1} {2}?}
Ganz andere Darstellungen , aber Wenn Sie die erforderlichen Berechnungen / Stornierungen durchführen, werden Sie mir mit ziemlicher Sicherheit glauben, dass diese beiden Formulare die gleiche Zahl darstellen.
Warum?
Denn wenn uns Brüche beigebracht werden, wird uns schon sehr früh beigebracht, dass zwei Brüche dieselbe Zahl haben können und dass sie sich in reduzierte Form , wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben, die 1 überschreiten.
Und daran halten wir fest.
Wir sind durch Erfahrung und davon überzeugt Wiederholung dieser Erfahrung, und wir können verschiedene Formen verwenden, um diese Erfahrung zu verifizieren.
Nicht so sehr mit „Dezimalstellen“, geschweige denn mit anderen Positionen Formen.
Das Schöne an den Dezimaldarstellungen von Zahlen ist, dass für die meisten Zahlen (in einem bestimmten technischen Sinne) die Dezimalform ist in der Tat einzigartig (aber in den meisten Fällen – im gleichen Sinne – ist es unpraktisch, alle Einzelheiten aufzuschreiben, sagen wir es so).
Es gibt jedoch einige Ausnahmen. Mit „wenigen“ meine ich, dass im Vergleich zu der ganzen „Menge“ von Zahlen, die im Prinzip (wenn nicht in der Praxis) dezimal geschrieben werden können.Die Ausnahmen sind die rationalen Zahlen, und ihre Nenner (in reduzierter Form) haben nur Potenzen von 2 und / oder Potenzen von 5.
Das Werkzeug, das Sie benötigen, um es zu verstehen, ist die Essenz einer konvergenten geometrischen Reihe.
Eine konvergente (unendliche) geometrische Reihe ist eine Reihe der Form
\ displaystyle {\ qquad a + a \ mal r + a \ mal r ^ 2 + \ ldots + a \ mal r ^ n + \ ldots.}
Wenn die Reihe nach einer endlichen Anzahl von Termen mit der höchsten Potenz N endet, ist es Es ist ziemlich einfach zu bestätigen, dass die Serie
\ displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ frac {a (1-r ^ N)} {summiert 1-r},}
und wir fragen, was es bedeutet, eine unendliche Summe zu haben. Die herkömmliche Definition ist, dass die Terme schnell genug kleiner werden, so dass sich der Gesamtwert einer endlichen Grenze nähert, wenn N beliebig groß wird. Die Untersuchung dieser Idee führt uns zu einer Bedingung, nämlich dass das gemeinsame Verhältnis r zwischen -1 und 1 liegen muss (aber auch nicht sein muss). Oder | r | , äquivalent zu -1 . P. >
Dann wird die Formel
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {a} {1-r},}
als Term r ^ N \ to0.
Erinnern Sie sich nun daran, wie die Dezimalschreibweise definiert ist: Eigentlich ist es nur eine Abkürzung für eine Reihe der Form
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} & a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\ & \ qquad = a\_k \ times10 ^ k + a\_ {k-1} \ times10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ times10 + a\_0 \\ & \ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots, \ end {align *}}
wobei k die höchste Zehnerpotenz ungleich Null ist, die kleiner als die Zahl ist, und a\_i, b\_j die Dezimalstellen (ganze Zahlen von null bis neun) sind.
Die Zahl 9.999 \ ldots = 9. \ dot9 ist eine Zahl dieser Form, wobei k = 0 und a\_0 = 9 = b\_j für alle positiven ganzen Zahlen j ist. Glücklicherweise gibt uns dies genau die Form einer geometrischen Reihe! (Beachten Sie, dass jede Zahl in Dezimalform, bei der sich die Ziffern von 9 nach rechts unterscheiden, oben durch eine Reihe wie diese begrenzt ist.)
Wir können einfach Dinge einstecken: Der erste Term ist a = 9 und das gemeinsame Verhältnis ist r = \ frac {1} {10} . Wir wissen also sofort, dass diese Serie konvergiert!
Wir erhalten
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {9} {1- \ frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
Sehr ordentlich.
Es gibt natürlich noch andere Tricks kann verwenden, um zu beweisen, dass 9. \ dot9 = 10 (jedenfalls in Dezimalzahl…), aber das Beste (meiner Meinung nach) ist, etwas darüber zu verstehen, was die Notation bedeutet und wie sie funktioniert – und dann ist es leicht, sie in den Griff zu bekommen mit der Tatsache, dass selbst in der Positionsnotation nicht jede Zahl nur auf eine Weise dargestellt wird.
Wenn wir eine gültige Basis b haben, wird im Allgemeinen die in dieser Positionsbasis dargestellte Zahl mit der Form 0 dargestellt. (b -1) (b-1) (b-1) \ ldots ist immer gleich 1. In binär (zum Beispiel), wo 0.1 = \ frac {1} {2}, haben wir 0.111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1. Die Methode der unendlichen Reihe funktioniert auf die gleiche Weise, um dieses Ergebnis zu beweisen.