Beste Antwort
Es gibt viele gute Antworten, die Ihnen helfen, zu visualisieren, was diese Frage bedeutet, um intuitiv eine zu erreichen Antwort von 3. Und nichts, was ich hier schreibe, soll den Wert dieser Antworten beeinträchtigen. Sie helfen neuen Schülern, konkret über die Verbindung zwischen Mathematik und Modellierung nachzudenken, und das ist eine RIESIGE Fähigkeit.
Trotzdem ist Mathematik keine Modellierung. Eine alternative Art, über dieses Problem nachzudenken, ist eine rein mathematische Perspektive. Und wenn Sie diese Fähigkeit entwickeln, arbeiten Sie daran, abstraktere Arten von Mathematik zu handhaben, die häufig die Mathematikkarriere von Schülern beenden, die sich ausschließlich auf einen modellorientierteren, intuitiveren Ansatz verlassen.
Sie haben gefragt: „Was ist 3/4 geteilt durch 1/4?“
Genau dort in der Mitte Ihrer Frage haben Sie den Begriff „geteilt durch“ verwendet. Für einen Mathematiker ist dies ein Hinweis darauf, die DEFINITION der Teilung sofort nachzuschlagen. Definitionen sind die Bausteine, auf denen Mathematik aufgebaut ist.
Eine Definition der Division (in diesem Zusammenhang) lautet:
Bei zwei gegebenen Zahlen, a und b (mit b \ ne 0), a geteilt durch b ist c, wenn c mal b gleich a ist.
Jetzt weiß ich also, was „geteilt durch“ bedeutet. Können wir diese Definition auf Ihr Problem anwenden? Nun, Sie fragen nach 3/4 geteilt durch 1/4. Es sieht so aus, als hätten Sie zwei Zahlen (von denen die zweite nicht Null ist) und möchten das Ergebnis der ersten durch die zweite geteilt wissen. Es scheint also, dass diese Definition genau das ist, was Sie brauchen.
Nun beginnt das Spiel. Die Antwort auf das Problem ist eine beliebige Zahl, c, so dass \ frac 14 \ mal c = \ frac 34.
Hier sind die guten Nachrichten. Wir wissen jetzt, wie man prüft, ob eine Antwort die richtige ist oder nicht. Wir multiplizieren nur 1/4 mit der Antwort des Kandidaten und wenn das Ergebnis 3/4 ist, ist die Antwort des Kandidaten korrekt.
Die schlechte Nachricht ist, dass wir nicht näher dran sind, wenn die Antwort des Kandidaten NICHT korrekt ist die richtige Antwort finden. Mit anderen Worten, die Definition hilft uns nicht, die richtige Antwort zu finden. Es hilft uns nur zu überprüfen, ob eine Kandidatenantwort richtig ist.
Was können wir also tun? Versuch und Irrtum scheinen für immer eine schlechte Idee zu sein. Es scheint jetzt an der Zeit zu sein, eine Regel zu erfinden, die uns immer die richtige Antwort gibt.
Ich schlage diese Regel vor. Bei zwei Zahlen a und b \ ne 0 muss a geteilt durch b immer gleich a mal dem Kehrwert von b sein (oft als \ frac 1b bezeichnet).
Bevor wir diese Regel verwenden können, natürlich wir müssen sicherstellen, dass es immer funktioniert. Das nennen wir einen Beweis. Der Beweis hier ist einfach, da die Regel mir eine Kandidatenlösung gibt und die Definition mir genau sagt, wie ich eine Kandidatenlösung überprüfen soll.
Stimmt es, dass a \ times \ frac 1b = a geteilt durch b? Nun, die Definition besagt, dass die Antwort c sein wird, wenn c mal b gleich a ist. Können wir also unseren Kandidaten a \ times \ frac 1b mit b multiplizieren, um a zu erhalten? Da die Multiplikation kommutativ ist, können wir dies eindeutig. Und die Regel ist bewiesen. (Wir haben gerade unseren ersten Satz über die Teilung bewiesen. Wenn Definitionen an der Spitze der Mathematik stehen, sind Sätze und Beweise der Mörtel, der sie zusammenhält und es ihnen ermöglicht, großartige Strukturen aufzubauen.)
Also Die Antwort auf unser Problem scheint zu sein, dass 3/4 geteilt durch 1/4 gleich dem Produkt von 3/4 und dem Kehrwert von 1/4 sein muss. Groß! Richtig?
Nun, wir haben jetzt unser Teilungsproblem in zwei Probleme geändert. Eines ist ein Multiplikationsproblem. Die andere lautet „Wie finde ich den Kehrwert von 1/4?“
Ich gehe davon aus, dass Sie wissen, wie man Zahlen multipliziert. Wir haben also wirklich nur eine Frage zum Finden von Kehrwerten. Dies ist wirklich nur ein weiteres Teilungsproblem. Wirklich, ich bitte Sie jetzt, 1 geteilt durch 1/4 zu finden. Das scheint zunächst kein Sieg zu sein, da ich wieder in der Division bin. Aber ich behaupte, dass es ein Gewinn ist, weil wir nicht mehr herausfinden mussten, wie man JEDES a durch b teilt, sondern nur noch 1 durch b geteilt für jedes Nicht-Null-b finden müssen. Und die gute Nachricht ist, dass es EINFACH ist, zu lernen, wie man das richtige Gegenteil errät. Und wenn Sie es erraten haben, können Sie es überprüfen, da Ihnen die Definition genau sagt, wie es geht.
Der Kehrwert von 1/4 ist 4. Wir können dies überprüfen, da der Kehrwert 1 geteilt durch 1 bedeutet / 4, und die Definition besagt, dass 4 die Antwort ist, solange 4 multipliziert mit 1/4 1 ergibt. Und tatsächlich ist das wahr.
Schließlich haben wir also gelernt, dass 3/4 durch 1 geteilt wird / 4 ist gleich 3/4 mal 4. Und da ich weiß, wie man multipliziert (zum Beispiel indem ich 4 Kopien der Zahl 3/4 addiere), komme ich zu dem Schluss, dass die Antwort 3 ist. Und wenn ich wirklich vorsichtig bin, ich Gehen Sie zurück und überprüfen Sie das Ergebnis anhand der Definition, um sicherzugehen, dass ich keine Fehler gemacht habe. Ist 1/4 multipliziert mit 3 gleich 3/4? In der Tat ist es so, dass 3 nun als die richtige Lösung verifiziert wurde.
Nun, diese Antwort scheint WIRKLICH lang und kompliziert zu sein – insbesondere für einen Neuling in der Mathematik. Ich verstehe das.In der Tat erhalten Sie die Antwort viel schneller mit einem Taschenrechner oder Google oder mit einigen (für Sie nicht bewährten) Techniken, die die meisten von uns früh in der Schule lernen. Aber das ist überhaupt nicht der Punkt.
Was wir wirklich gelernt haben, ist nicht die Antwort auf DIESES Problem. Was wir wirklich gelernt haben, ist, dass wir für die Division von ZWEI Zahlen wissen müssen, wie man zwei Dinge macht. Zuerst müssen wir wissen, wie man EINEN durch eine beliebige Zahl (ungleich Null) dividiert, um einen Kehrwert zu erhalten. Und zweitens müssen wir wissen, wie man zwei beliebige Zahlen multipliziert. Und diese Wahrheit ist weitaus interessanter und tiefer als die Antwort auf diese Frage zu kennen. Vergib die überstrapazierte Metapher, aber sie lehrt einen Mann, zu fischen, anstatt ihm einen Fisch zu geben.
Und die wahre Kraft besteht darin, dass sie die Teilung in einen Kontext stellt, der es ermöglicht, sie zu verallgemeinern. Und Verallgemeinerungen der Teilung zweier Zahlen führen zu wichtigen Ideen. Und genau darum geht es in der Mathematik wirklich!
Antwort
Michael Lamar erklärt in seiner Antwort sehr gut, warum das Verständnis des abstrakten Begriffs der Teilung mathematisch wichtiger ist als die spezifische Antwort auf \ frac34 \ div \ frac14, also werde ich direkt auf die Verallgemeinerung eingehen:
Was ist \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}?
In a Feld Jedes Nicht-Null-Element a hat eine eindeutige multiplikative Inverse a „, so dass
\ quad a \ times a“ = a „. \ times a = 1 die multiplikative Identität.
Division ist definiert in Bezug auf die Multiplikation:
\ quad b \ div a \ equiv b \ times a „
Die multiplikative Umkehrung eines Bruchs wird durch Invertieren des Bruchs gegeben, weil:
\ quad \ frac {p} {q} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {p \ times q} {q \ times p} = 1 daher \ left (\ frac {p} {q} \ right) „= \ frac {q} {p} (mit Ausnahme von p = 0).
Daher ist unsere Division gegeben durch:
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {n \ time s q} {m \ times p}
Für einen angehenden Mathematiker beantwortet dies die Frage, zumindest im Kontext eines Feldes. Der wahre (reine) Mathematiker wird dann sehen wollen, wie er weiter verallgemeinern kann.
Andere werden mehr daran interessiert sein, die spezifische Antwort auf die ursprüngliche Frage zu erhalten, indem sie n = 3, m = 4, p = instanziieren 1, q = 4, um zu erhalten:
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
Immer noch nicht ganz 3, aber Sie können mit etwas mehr Abstraktion dorthin gelangen: eine Übung, die ich dem interessierten Leser überlassen werde.
Übrigens möchten Sie für diesen angehenden Mathematiker vielleicht überprüfen, ob im endlichen Feld \ mathbb F\_5 Folgendes vorhanden ist:
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12, weil \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4 und \ frac12 \ equiv3