Beste Antwort
Dies ist ein guter Zeitpunkt, um zu zeigen, wie Mathematik funktioniert, indem Sie ein intuitives, aber vages Konzept verwenden präzise durch kluge Definitionen.
Was sollen wir mit Gegenteil meinen? Nun, eine vernünftige Sache ist, dass, wenn wir eine Operation \ vee ausführen (nennen Sie es wie Sie wollen, Banane zum Beispiel ein guter Name ist) für x und sein Gegenteil x ^ *, das Ergebnis sollte ein bananenneutrales Element n sein. Das heißt, x und „anti-x“ sollten sich gegenseitig aufheben, so dass x \ vee x ^ * = n ist. Beachten Sie, dass wir im Moment überhaupt nicht viel über Bananen außer diesen formalen Eigenschaften wissen. Das Konzept, dass n neutral ist, sollte in diesem Sinne bedeuten, dass wir für jedes y y \ vee n = y haben sollten, dh n wirkt sich nicht auf y aus, wenn Banane auf beide angewendet wird.
Dieses Konzept der Gegenseitigkeit ist in der Mathematik grundlegend, und der gebräuchlichere Name für x ^ * ist invers von x in Bezug auf die Operation \ vee.
Wenn \ vee das ist gewöhnliche Addition + von Zahlen, x ^ * wird mit -x bezeichnet, da x + (- x) = 0 das neutrale Element ist. In der Tat ist für jedes y y + 0 = y. In diesem Fall ist also das Gegenteil von 0 -0, was selbst 0 ist!
Wenn \ vee multipliziert wird, ist das neutrale Element 1 (warum?). Dann hat 0 kein Gegenteil, da keine Zahl mal Null eins ist. Es gibt Kontexte, in denen Mathematiker ein Multiplikativ gegen 0 erfinden, und sie nennen es normalerweise \ infty, was sinnvoll ist.
Antwort
Dies war zuvor Gegenstand einiger Debatten gewesen in der mathematischen Gemeinschaft, bis Donald Knuth 1992 die Dinge klarstellte, so ist es verständlich, dass einige Verwirrung bestehen bleibt, aber die moderne Konvention besteht darin, aus gutem Grund 0 ^ 0 = 1 zu definieren.
Was macht 0 ^ 0? bedeuten? Vielleicht wurde Ihnen beigebracht, dass eine nullte Potenz berechnet wird, indem eine n-te Potenz durch eine n-te Potenz geteilt wird (n> 0). Dies hilft im Fall von 0 ^ 0 nicht und führt dazu, dass einige Leute 0 ^ 0 mit dem undefinierten Quotienten \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00 verknüpfen. Diese Leute haben nicht erkannt, dass 0 ^ 2 perfekt definiert ist und nicht mit dem undefinierten Quotienten \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00 assoziiert werden kann – wir können es nicht beweisen alles durch Einführung einer Division durch Null, wo vorher keine existierte.
Aber wir müssen uns überhaupt nicht auf die Division berufen:
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1.
Wenn ich alle Ihre Äpfel n-mal wegnehme (n> 0) Sie haben keine Äpfel mehr; Aber wenn ich alle deine Äpfel 0 Mal wegnehme, hast du immer noch alle deine Äpfel. Genauer gesagt ist 0 ^ 0 = 1 ein Fall des leeren Produkts , genau wie 0! = 1.
Warum hat es so lange gedauert, bis dies akzeptiert wurde? Das offensichtliche Problem ist, dass die Grenzform 0 ^ 0 eine unbestimmte Form in dem Sinne ist, dass \ textstyle \ lim\_ {x \ zu a} f (x) = \ lim\_ {x \ zu a} g (x) = 0 gibt Ihnen keine Informationen * über das Limit \ textstyle \ lim\_ {x \ zu a} f (x) ^ {g (x)}: Es kann ein beliebiger nicht negativer Wert sein reelle Zahl, \ infty oder möglicherweise nicht vorhanden, abhängig von den jeweiligen Funktionen. Dies schien über ein Jahrhundert lang im Widerspruch zu der oben genannten einfachen Intuition zu stehen. Die wichtige Erkenntnis ist jedoch, dass die unbestimmte einschränkende Form 0 ^ 0 hindert uns nicht daran, dem -Wert 0 ^ 0 . Sie sind nicht dasselbe Objekt: Die Grenzform 0 ^ 0 ist nur eine Abkürzung für die oben genannte Grenze, und ihre Unbestimmtheit bedeutet lediglich, dass die Potenzierung keine kontinuierliche Funktion sein kann in jeder Nachbarschaft von (0, 0).
Dies sollte nicht allzu überraschend sein: Zum Beispiel ist \ lfloor 0 \ rfloor auch eine unbestimmte Form (\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x \ rfloor existiert nicht, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ), aber wir schreiben immer noch \ lfloor 0 \ rfloor = 0 als Wert.
Und so weisen wir 0 ^ 0 jetzt den Wert zu, der nützlich ist, nämlich 1. Warum ist das nützlich? Weil wir damit Exponentiale bearbeiten können, ohne Sonderfälle hinzuzufügen .
- Wenn \ textstyle p (x) = \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ n ein -Polynom ist, dann ist p (0) = a\_0 sein konstanter Term – aber wir können nicht einmal ein Polynom auf diese offensichtliche Weise schreiben, es sei denn, 0 ^ 0 = 1. Dasselbe gilt für unendliche Potenzreihen, bei denen d durch \ infty ersetzt wird.
- Die Auswertung der unendlichen geometrischen Reihe : \ begin {split} \ textstyle (1 – x) \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1, \ end {split} also \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1 – x}. ist für | x | vollständig gültig (und sogar kontinuierlich) , einschließlich bei x = 0, erfordert jedoch 0 ^ 0 = 1.
- Der Binomialsatz (a + b) ^ n = \ textstyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k gilt auch dann, wenn a = 0 oder b = 0 ist, erfordert jedoch 0 ^ 0 = 1.
- Die Potenzregel \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n – 1} (n \ ne 0) gilt auch für n = 1 bei x = 0, erfordert jedoch 0 ^ 0 = 1.
- Die Antwort von Jack Huizenga gibt ein weiteres Beispiel: die Anzahl der Funktionen f \ Doppelpunkt S. \ to T ist \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}, aber nur, wenn 0 ^ 0 = 1.
- In der Kirchenzahl Kodierung der Naturtöne, Potenzierung ist nur Funktionsanwendung und 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ lambda x. x) (\ lambda f. \ lambda x. x) = (\ lambda x. x) = 1.
* Der Sinn, in dem 0 ^ 0 eine unbestimmte Form ist, ist schwächer als bei anderen unbestimmten Formen. Für komplexe analytische Funktionen f, g mit \ textstyle \ lim\_ {x \ zu a} f (x) = \ lim\_ {x \ zu a} g (x ) = 0, wir haben immer \ textstyle \ lim\_ {x \ zu a} f (x) ^ {g (x)} = 1, es sei denn, f ist identisch Null (in diesem Fall existiert die Grenze nicht). P. >
Donald Knuth gibt im Grunde die gleiche Antwort in „ Zwei Anmerkungen zur Notation (1992, S. 6), zusammen mit dem historischen Hintergrund:
[Libris] Papier [33] erzeugte jedoch mehrere Wellen in mathematischen Gewässern, als es ursprünglich erschien, weil es eine Kontroverse darüber auslöste, ob 0 ^ 0 definiert ist. Die meisten Mathematiker waren sich einig, dass 0 ^ 0 = 1 ist, aber Cauchy [5, Seite 70] hatte 0 ^ 0 zusammen mit anderen Ausdrücken wie 0/0 und \ infty – \ infty in einer Tabelle undefinierter Formen aufgelistet. Libris Rechtfertigung für die Gleichung 0 ^ 0 = 1 war alles andere als überzeugend, und ein Kommentator, der seinen Namen einfach mit „S“ unterschrieb, stieg zum Angriff auf [45]. August Möbius [36] verteidigte Libri, indem er den Grund seines ehemaligen Professors darlegte, 0 ^ 0 = 1 zu sein (im Grunde ein Beweis dafür, dass \ textstyle \ lim\_ {x \ bis 0 ^ +} x ^ x = 1). Möbius ging auch weiter und legte einen angeblichen Beweis dafür vor, dass \ textstyle \ lim\_ {x \ bis 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1 ist, wann immer \ textstyle \ lim\_ {x \ bis 0 ^ +} f ( x) = \ lim\_ {x \ bis 0 ^ +} g (x) = 0. Natürlich fragte „S“ dann [3], ob Möbius über Funktionen wie f (x) = e ^ {- 1 / x} Bescheid wisse und g (x) = x. (Und Papier [36] wurde stillschweigend aus den historischen Aufzeichnungen gestrichen, als die gesammelten Werke von Möbius schließlich veröffentlicht wurden.) Die Debatte hörte dort auf, anscheinend mit der Schlussfolgerung, dass 0 ^ 0 nicht definiert werden sollte.
Aber nein Nein, zehntausendmal nein! Jeder, der möchte, dass der Binomialsatz \ displaystyle (x + y) ^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n – k} für mindestens eine nichtnegative ganze Zahl n muss glauben, dass 0 ^ 0 = 1 ist, denn wir können x = 0 und y = 1 einstecken, um 1 links und 0 ^ 0 rechts zu erhalten. P. >
Die Anzahl der Zuordnungen vom leeren zum leeren Satz beträgt 0 ^ 0. muss 1 sein.
Andererseits hatte Cauchy guten Grund, 0 ^ 0 als undefiniertes Grenzform in dem Sinne, dass der Grenzwert von f (x) ^ {g (x)} nicht bekannt ist a priori , wenn sich f (x) und g (x) unabhängig voneinander 0 nähern. In diesem viel stärkeren Sinne ist der Wert von 0 ^ 0 weniger definiert als beispielsweise der Wert von 0 + 0. Sowohl Cauchy als auch Libri hatten Recht, aber Libri und seine Verteidiger verstanden nicht, warum die Wahrheit auf ihrer Seite war.