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Konventionell wird jedes Element eines Vektorraums E durch einen Spaltenvektor dargestellt.
Angenommen, wir haben eine Abbildung, die durch eine Matrix M dargestellt wird, die E in einen anderen Vektorraum F abbildet, und dann die Wirkung von M auf v wird durch ein linkes Matrixprodukt von v durch M dargestellt, dh:
y = M v
Sie können M auch auf einen Zeilenvektor anwenden u (Ich gehe davon aus, dass die Dimensionen von u , v und M übereinstimmen) durch ein rechtes Matrixprodukt:
z = u M
Der Hauptunterschied ist jetzt die Interpretation von u wrt v : u gehört zum Vektorraum E *, der der duale Raum von E ist ( Suche nach einem dualen Raum eines Vektorraums).
Wenn Sie mit einem bestimmten Vektorraum E arbeiten, wird sein Element durch einen Spaltenvektor dargestellt, und alle Zeilenvektoren sollten sich auf ein Element seines dualen Raums beziehen.
Die Notation kann umgekehrt verwendet werden: E * kann der Vektorraum sein, mit dem Sie arbeiten, sodass Ihr Vektor durch einen Spaltenvektor in diesem Raum und die Elemente seines dualen Raums durch dargestellt werden kann ein Zeilenvektor. Vorsicht, das Dual von E * (bidual von E) ist nicht E.
Die Zeilen- und Spaltendarstellung ist hauptsächlich (unter anderen mathematischen Gründen), weil das Matrixprodukt nicht kommutativ ist.
Antwort
Es gibt keinen grundlegenden Unterschied zwischen Zeilenvektoren und Spaltenvektoren. Abhängig von dem Raum, den Sie mit Matrizen modellieren, kann es einen Unterschied zwischen den beiden, möglicherweise grundlegenden, in diesem Raum geben, der jedoch den Vektoren beiliegt. Genau Der gleiche Raum kann durch Transponieren der Matrizen modelliert werden. In diesem Fall werden aus Spaltenvektoren Zeilenvektoren mit genau die gleiche Bedeutung.