Was ist der Radius des Kreises eines Dreiecks mit Seiten von 18,24,30 cm?

Beste Antwort

Gegebenes RT-Dreieck, Seiten 18, 24, 30; Suchen Sie den Radius des Beschriftungskreises.

Kurze Antwort; Die Formeln eines eingeschriebenen Kreisradius in einem RT-Dreieck lauten

Fläche / (1/2 Umfang)

Fläche ist Höhe X die halbe Basis; das heißt

18 * 12 = 216

Der Umfang beträgt 18 + 24 + 30 = 72; und geteilt durch 2

72/2 = 36

Der Kreisradius beträgt 216/36 = 6 cm

Lange Antwort

Konstruktion:

Bisect AC und CA überprüfen an der Kreuzung den Ort mit der Halbierung von BC, Es ist in Ordnung, also lass uns gehen …

Bilden Sie mit einem Kompass und einem Bleistift einen Kreis, der eine beliebige Seite berührt, und folgen Sie den anderen beiden Seiten.

Beschriften Sie den Schnittpunkt von AD und CE. O.

Lassen Sie bei P, Q und R eine Senkrechte zu jeder Seite fallen.

Der Schnittpunkt O ist von den Seiten AB, BC und AC gleich weit entfernt. (Siehe III unten)

I.

Betrachten Sie die Dreiecke BPO und BRO.

Winkel BO = BO (Konstruktion).

Linie BO ist beiden Dreiecken gemeinsam.

Winkel RO = PO (Constructed Rt Angles).

Ergo-Dreiecke BPO und BRO sind kongruent.

Daraus folgt die Linie BP = BR.

Aber wir wissen, dass BR = BC – r.

Also BP = BC – r; oder 24 – r.

Mit demselben Argument können wir PA = AC -r: oder 18 – r beweisen.

Also.

BP = 24 – r; PA = 18 – r; und BP + PA = BA.

Kombinieren von Schlussfolgerungen …… BP + PA = (24 – r) + (18 – r) Ersetzen von BP und PA durch BA und Vereinfachen….

Also, BA = 42 – 2r.

Aber BA = 30 (gegeben). BA ersetzen.

30 = 42 – 2r… vereinfachen…. 2r = 42 – 30.

2r = 12.

Ergo r = 6.

QED.

II. P. >

Radius = 6 Einheiten.

Die Arithmetik scheint

Summe aller Seiten dieser Reihe von Dreiecken zu sein, / 12 = Radius der Beschriftung Kreis.

18 + 24 + 30 = 72

Radius = 72/12 = 6.

Hoffe, das hilft.

Re ;; Formeln in anderen Antworten, danke jedem. Neu für mich!… Lol. Ich lerne jeden Tag etwas Neues auf Quora. Mein Favorit ist Fläche / (0,5 * Umfang) = Beschrifteter Kreisradius… .216 / 36 = 6…

BEARBEITEN 6/26 / 17

III.

Aus der Figurenkonstruktion sind die

Dreiecke BPO und BOR kongruent, wie oben gezeigt. Auch APO und AOQ können ebenfalls als kongruent erwiesen werden.

Ergo

Zeilen OP = OR und OQ = OP. Da OP sowohl OR als auch OQ ist, sind diese einander gleich, dh – OR = OQ. Folglich ist dies ein Beweis dafür, dass der Schnittpunkt der Winkelhalbierung der Mittelpunkt der Figur ist, ein rechtwinkliges Dreieck und von seinen drei Seiten gleich weit entfernt ist.

QED

Antwort

Vielen Dank, dass Sie diese nette Frage gestellt haben, Mr. Lloyd. Nicht nur die Antwort auf Ihre Frage lautet yes , sondern es gibt unendlich viele (planare) ) Dreiecke mit den Eigenschaften, die Sie anfordern, und wie sich herausstellt, ist es möglich, einige von ihnen gut nach den Radien ihrer Kreise zu sortieren dass die Radien die Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4 usw. verfolgen oder beschatten.

Mit anderen Worten, wir werden die bevorstehende Diskussion als Blaupause für einen möglicherweise formaleren Beweis verwenden zeigen einen mechanischen Weg, um ein Dreieck zu erzeugen, dessen Länge alle Seiten ganze Zahlen sind und dessen Länge der Radius eine ganze Zahl n ist, die vorab angegeben wurde.

Seitenleiste: diese Art von Fragen habe viel zu tun mit elementarer Zahlentheorie und sehr wenig mit Geometrie zu tun.

Eine Familie von (planaren) Dreiecken, die garantiert , dass die Eigenschaften sofort angefordert werden, sind die sogenannten pythagoreischen Dreiecke – das rechte (vorerst) Dreieck, dessen Länge alle Seiten ganze Zahlen sind.

Lassen Sie uns zustimmen, dass die Längen der Seiten eines pythagoreischen Dreiecks das Ganze sind, streng positiv, Zahlen a, b und c so, dass:

a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ tag {1}

Lassen Sie uns auch zustimmen, wenn alle drei Ganzzahlen a, b, c sind Koprime, dann heißt das entsprechende pythagoreische Dreieck primitiv und nehmen wir für einen Moment an, dass wir es irgendwie geschafft haben, ein solches primitives Dreieck a\_0 zu finden , b\_0, c\_0.

Da die Beziehung in ( 1 ) keine anderen frei schwebenden Terme enthält, folgt daraus, dass durch Skalieren aller Zahlen, die a bilden primitives pythagoreisches Dreieck durch dieselbe streng positive ganze Zahl k:

\ left (ka\_0 \ right) ^ 2 + \ left (kb\_0 \ right) ^ 2 = \ left (kc\_0 \ right) ^ 2 \ tag * {}

wir erhalten ein neues Dreieck, das sein wird:

• auch pythagoreisch
• nicht mehr primitiv (für k> 1)
• ähnlich seinem übergeordneten primitiven pythagoreischen Dreieck a\_0, b\_0, c\_0
• größer als sein übergeordnetes primitives pythagoreisches Dreieck a\_0, b\_0, c\_0

Es folgt dann dass es unendlich viele nicht-primitive pythagoreische Dreiecke gibt, die durch ein (einzelnes) gegebenes primitives pythagoreisches Dreieck erzeugt werden. Ein gegebenes primitives pythagoreisches Dreieck ist das kleinste in seiner -Familie, da die Länge seiner Seiten nicht weiter reduziert werden kann. Keine zwei unterschiedlichen primitiven pythagoreischen Dreiecke sind ähnlich.

Wir stellen im Vorbeigehen fest, dass wir mathematische Aussagen normalerweise nicht untätig herumwerfen – wir beweisen sie sofort, aber weil der Fokus dieser Antwort nicht auf den Beweisen liegt Die oben genannten Eigenschaften werden im Moment nur als wahr angesehen (fragen Sie bei Interesse separat nach den entsprechenden Beweisen).

Daher ist es traditionell von anfänglichem Interesse, die Länge der Seiten von primitive pythagoreische Dreiecke, da alle anderen pythagoreischen Dreiecke wie oben erläutert aus ihren primitiven Gegenstücken generiert werden können.

Als Übung können wir dies zeigen Eine vollständige Parametrisierung der Lösungen von ( 1 ) ist gegeben durch:

a = m ^ 2 – n ^ 2, \; b = 2mn, \; c = m ^ 2 + n ^ 2 \ tag {2}

wobei m und n alle Paare sind von Coprime-Ganzzahlen entgegengesetzter Parität mit m> n. Das entgegengesetzte Paritätsbit bedeutet, dass eine dieser Zahlen, egal welche, ungerade sein muss, während die andere – gerade sein muss.

Wenn Sie interessiert sind, stellen Sie eine separate Frage, woher ( 2 ) stammt – wir werden Ihnen gerne einen Abzug von präsentieren Diese Tatsache ist außerhalb des Bandes, um die aktuelle Antwort nicht mit zu vielen technischen Informationen zu verschmutzen.

Es gibt eine alternative Parametrisierung der Lösungen von ( 2 ), die wir auch hier weglassen.

Betrachten Sie nun ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a und b, der Hypotenuse c und dem Inradius r (Abb. 1):

Wenn wir die grüne Gleichung zu der in Abbildung 1 gezeigten blauen Gleichung hinzufügen und die graue Gleichung für x + y verwenden, finden wir:

c + 2r = a + b \ tag * {}

von wo:

r = \ dfrac {a + b – c} {2} \ tag {3}

Nehmen wir nun an, dass das oben Gesagte richtig ist Das Dreieck ist ein primitives pythagoreisches Dreieck. Wenn wir die Werte von a, b und c aus ( 2 ) nehmen und in ( 3 ) dann haben wir:

r = \ dfrac {m ^ 2-n ^ 2 + 2mn – m ^ 2 – n ^ 2} {2} \ tag * {}

Hier heben sich die m ^ 2s auf und die n ^ 2s verdoppeln sich:

r = \ dfrac {2mn – 2n ^ 2} {2} \ tag * {}

Wenn wir 2n aus dem obigen Nenner herausrechnen, erhalten wir:

r = \ dfrac {2n (m – n)} {2} \ tag * {}

das heißt:

r = n (mn) \ tag {4}

was uns sagt, dass in any primitives pythagoreisches Dreieck Die Länge seines Inradius ist eine ganze Zahl (vergessen Sie nicht die m> n-Einschränkung, siehe ( 2 )), weil ein Unterschied von Zwei ganze Zahlen sind immer eine ganze Zahl, und ein Produkt aus zwei ganzen Zahlen ist immer eine ganze Zahl.

Betrachten Sie als Nächstes ein nicht primitives k-Dreieck, dh ein pythagoreisches Dreieck, dessen Länge alle Seiten waren gleichmäßig durch eine streng positive ganze Zahl vergrößert k> 1. Da solche Längen als streng lineare Terme in die Gleichung ( 3 ) eingehen, müssen wir nur multiplizieren, um die Länge des entsprechenden Inradius zu erhalten die RHS von ( 4 ) durch k:

r\_k = kn (mn) \ tag {5}

In beiden Fällen ist die Länge des Inradius eines pythagoreischen Dreiecks immer eine ganze Zahl, da die Objekte (die Zahlen) auf der rechten Seite von ( 4 , 5 ) sind immer – eine Differenz von zwei Ganzzahlen ist immer eine Ganzzahl und ein Produkt aus zwei Ganzzahlen ist immer eine Ganzzahl.

Beachten Sie, dass die Die Gleichung ( 5 ) kann von rechts nach links gelesen werden. Dies bedeutet, dass wir die ganzen Zahlen k, m, n als Eingabe verwenden und dann ( 5 ) verwenden können, um einen integralen Inradius als Ausgabe zu erzeugen.

Versuchen wir nun, in die entgegengesetzte Richtung zu gehen – lassen Sie uns sehen, ob wir eine Bestellung über die Länge eines Inradius aufgeben und anhand dieser Informationen die Längen des entsprechenden pythagoreischen Dreiecks wiederherstellen können.

Anscheinend hat es Pythagoras selbst vor vielen Jahren geschafft, eine teilweise Parametrisierung der Lösungen von ( 1 ) durch Untersuchung der pythagoreischen Dreiecke, deren kürzere Seiten eine Folge aufeinanderfolgender ungerader natürlicher Zahlen a = 2n + 1 bilden.

In diesem Fall bleiben die relevanten Zahlen ganz Die Länge der Seite b und die Länge der Hypotenuse c eines mysteriösen pythagoreischen Dreiecks müssen sich um eine Einheit unterscheiden: c = b + 1. Somit ist von ( 1 ) Wir haben:

(2n + 1) ^ 2 + b ^ 2 = (b + 1) ^ 2 \ tag * {}

Öffnen Sie die obige Klammer:

4n ^ 2 + 4n + 1 = b ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 \ tag * {}

wir sehen, dass sich die b ^ 2s und die 1s aufheben:

4n ^ 2 + 4n = 4n ( n + 1) = 2b \ tag * {}

das heißt:

b = 2n (n + 1), \; c = b + 1 = 2n (n + 1) + 1 \ tag {6}

Setzen Sie diese Werte wieder in ( 3 ). Wir entdecken Folgendes:

r = \ dfrac {2n + 1 + 2n ^ 2 + 2n – 2n ^ 2 – 2n – 1} {2} \ tag * {}

r = \ dfrac {2n} {2} = n \ tag {7}

Ist das nicht schön?

Also – die Sortierreferenz.

Mit anderen Worten, wenn Sie uns eine beliebige natürliche Zahl n> 0 geben, können wir ein pythagoreisches Dreieck erzeugen, das genau die Eigenschaften aufweist, die Sie anfordern:

a = 2n + 1, \; b = 2n (n + 1), \; c = 2n (n + 1) + 1, \; r = n \ tag {8}

bedeutet, dass die obige Familie von Formeln die Integrallänge des Inradius eines Dreiecks mit den Integrallängen seiner Seiten auflistet über die Menge der natürlichen Zahlen \ mathbb {N}.

Dies bedeutet auch, dass wir vorab ein Computerprogramm in der Programmiersprache C als Medium schreiben können Dadurch werden die angeforderten Dreiecke bei Bedarf generiert:

#include

#include

extern int

main( int argc, char* argv[] )

{

int i;

int n;

int a;

int b;

int c;

for ( i = 1; i

{

n = atoi( argv[ i ] );

a = 2*n + 1;

b = 2*n*(n + 1);

c = b + 1;

}

return 0;

}

Angenommen, wir haben den obigen Code in der Datei ptr.c gespeichert, erstellen Sie ihn wie folgt:

gcc -g - o ptr ptr.c

und führen Sie es folgendermaßen aus:

./ptr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 3 4 5

2 5 12 13

3 7 24 25

4 9 40 41

5 11 60 61

6 13 84 85

7 15 112 113

8 17 144 145

9 19 180 181

10 21 220 221

11 23 264 265

12 25 312 313

13 27 364 365

wo wir für einen billigen Nervenkitzel dramatisch die Hypotenuse der Länge 365 aufgenommen haben.

Unser Programm akzeptiert eine Reihe natürlicher Zahlen von der Eingabeaufforderung und generiert für jede dieser Zahlen n einen PythagoräerDreieck, dessen Seitenlänge garantieren, dass die Länge des Inradius dieses Dreiecks gleich der natürlichen Eingangszahl n ist.

Das Format unserer Ausgabe lautet: Die erste Spalte zeigt den Wert des Inradius n, die zweite Spalte zeigt den Wert von a, die dritte Spalte zeigt den Wert von b und die vierte Spalte zeigt den Wert von c.

Darüber hinaus zeigt der Bereich S unserer pythagoreischen Dreiecke:

S = \ dfrac {ab} {2} \ tag {9}

ist garantiert auch eine ganze Zahl, da die Werte von eingefügt werden a und b von ( 2 ) in ( 9 ) finden wir:

S = \ dfrac {\ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) 2mn} {2} = \ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) mn \ tag * {}

was immer eine ganze Zahl ist.

Schließlich ist die Situation mit willkürlichen, gelesenen – nicht richtigen, Dreiecken empfindlicher.

Wenn wir ein solches Dreieck eng, ohne Lücken und ohne Überlappungen in drei kleinere Dreiecke aufteilen, wie unten gezeigt (Abb.2):

dann, weil in diesem Fall das Ganze für die Fläche S gleich der Summe seiner Teile ist Von einem solchen Dreieck haben wir:

S = \ dfrac {ar} {2} + \ dfrac {br} {2} + \ dfrac {cr} {2} \ tag * {}

das heißt:

S = r \ cdot p = \ dfrac {rP} {2} \ tag * {}

, wenn wir uns einig sind, dass P. ist der vollständige Umfang des Dreiecks und p ist der Semiperimeter des Dreiecks.

Daraus folgt, dass wir für den Wert des Inradius r haben:

r = \ dfrac {2S} {P} = \ dfrac {S} {p} \ tag * {}

Damit r eine ganze Zahl ist, muss entweder P 2S ganzzahlig teilen oder p muss S ganzzahlig teilen.

Um des Arguments willen stimmen wir zu, planar non zu nennen rechtwinklige Dreiecke, deren Länge alle Seiten ganze Zahlen sind und deren Fläche eine ganze Zahl ist Diophantin .

Nun gibt es (zusammengesetzte) diophantinische Dreiecke so dass:

• sie sind compo sed von zwei pythagoreischen Dreiecken entlang einer gemeinsamen Seite und
• die Länge ihres Inradius ist keine Ganzzahl

Beweis: die Fläche des 5, 5, 6 zusammengesetzten diophantinischen Dreiecks, Das aus zwei 3,4,5 pythagoreischen Dreiecken entlang der b = 4-Seite zusammengesetzte ist 12, während die Länge seines Semiperimeters 8 beträgt. Aber 8 teilt 12 nicht ganzzahlig. \ blacksquare

Dort existieren (zusammengesetzte) diophantinische Dreiecke, so dass:

• sie eine Zusammensetzung von zwei pythagoreischen Dreiecken entlang einer gemeinsamen Seite und
• der Länge ihres Inradius ist eine ganze Zahl

Beweis: die Fläche der 13,14, Das zusammengesetzte diophantinische Dreieck, das aus zwei pythagoreischen Dreiecken 5, 12, 14 und 9, 12, 15 entlang der Seite b = 12 besteht, ist gleich 84, während sein Semiperimeter gleich 42 ist. Aber 42 teilt 84 ganzzahlig : 42 \ cdot 2 = 84. \ blacksquare

Es gibt (nicht zusammengesetzte?) Diophantinische Dreiecke, so dass:

• sie nicht aus zwei pythagoreischen Dreiecken bestehen können, sondern
• Die Länge ihres Inradius ist eine Ganzzahl

Beweis: Die Fläche des 65.119.180 Dreiecks ist gleich 1638, während sein Semiperimeter 182 ist. Aber 182 teilt 1638: 182 \ cdot 9 = 1638.

In einem Kandidaten-Dreieck mit den Seiten a und b ist die doppelte Fläche 2S gleich dem Produkt von a und b, siehe ( 9 ): 2S = a \ cdot b. Daher müssen beide Zahlen a und b 2S teilen.

Ist dies bei unserem Dreieck der Fall?

Nein.

Keine der Längen der Seiten von Unser Dreieck teilt die Größe gleich 1638 \ cdot 2.

Hier ist der Grund: Die Primfaktorisierung von 1638 \ cdot 2 ist gleich 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13:

1638 \ cdot 2 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13 \ tag * {}

Die Hauptfaktorisierungen der Längen der Seiten unseres Dreiecks sind :

65 = 5 \ cdot 13 \ tag * {}

119 = 7 \ cdot 17 \ tag * {}

180 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 \ tag * {}

Daher kann die Länge ohne Höhe unseres Dreiecks als ganze (natürliche) Zahl ausgedrückt werden, und daher kann ein solches diophantinisches Dreieck nicht sein besteht aus zwei pythagoreischen Dreiecken entlang einer gemeinsamen Seite, die die Rolle der Höhe des Zieldreiecks spielen müssen. \ blacksquare

Wir sehen, dass wir, um eine umfassende Aussage über die Länge des Inradius eines diophantinischen Dreiecks zu treffen, eine genauere Analyse der Situation vornehmen und höchstwahrscheinlich rationale Dreiecke .

Ich hoffe, dass ich unsere Diskussion nicht zu kompliziert gemacht habe, aber es ist, was es ist – meistens Elementarzahlentheorie.