Beste Antwort
Rationale Zahlen sind relativ einfach. Sie sind ein geordnetes Paar von ganzen Zahlen (m, n) mit n \ neq0 unter der Äquivalenzrelation:
\ quad (a, b) \ äquiv (c, d) \ Leftrightarrow ad = bc
Was? Das sollte einfach sein? Nun ja. Das ganze Äquivalenz-Gobbledy-Buch bestand nur darin, sicherzustellen, dass eine Hälfte eine Hälfte war, egal ob es sich um (1,2) oder (2,4) oder sogar (-33, -66) handelte. Und alles würde sich vertrauter anfühlen, wenn ich das als \ frac12 = \ frac24 anstatt als (1,2) \ equiv (2,4) schreiben würde, weil 1 \ times4 = 2 \ times2. Aber genau genommen beginnt eine strenge Definition von rationalen Zahlen damit.
Nun, da die einfachen Dinge behandelt werden, was ist eine reelle Zahl? Trotz ihres Namens und ihrer Allgegenwart sind reelle Zahlen eher reelle Zahlen komplizierte Bestien. Die vielleicht einfachste Konstruktion, die unserer Intuition entspricht, ist die von Dedekind-Schnitten . Ein Dedekind-Schnitt der rationalen Zahlen \ Q ist eine Aufteilung in zwei Teile Nicht leere Mengen (A, B), so dass A \ cup B = \ Q, jedes Element von A ist streng kleiner als jedes Element von B, und A hat kein größtes Element. Ich weiß, dein Kopf dreht sich bereits, aber das Idee ist sehr einfach: Wir schneiden nur irgendwann die Zahlenlinie – alle Rationals links sind in A und alle Rationals rechts (oder bei) Der Punkt) ist in B. Wenn B ein kleinstes Element hat, hatte unser Schnitt eine rationale Zahl. Wenn B kein hat, hat unser Schnitt ein kleinstes Element Irrationale Zahl. Die folgenden repräsentieren s der Dedekind-Schnitt für die Quadratwurzel von zwei (eine irrationale Zahl):
(Quelle: Datei: Dedekind-Schnittquadratwurzel von two.png – Wikipedia )
In beiden Fällen repräsentiert der Schnitt (A, B) eine reelle Zahl. Da B = \ Q \ setminus A ist, können wir eine reelle Zahl durch A selbst darstellen: eine nicht leere Menge von rationalen Zahlen, die unten geschlossen ist und kein größtes Element enthält. In gewissem Sinne füllen die irrationalen reellen Zahlen die „Lücken“ in den rationalen Zahlen.
Ein Problem bei dieser Intuition von „Lücken“ besteht darin, dass die rationalen Zahlen in den reellen Zahlen dicht sind – zwischen zwei unterschiedlichen reellen Zahlen Es gibt ein Rational (tatsächlich unendlich viele Rationals). Diese könnte Sie glauben lassen, dass es mindestens so viele rationale Zahlen gibt wie irrationale Zahlen. Aber nein, die Kardinalität der Menge der irrationalen Zahlen ist streng größer als die der Menge der rationalen Zahlen. Irgendwie wird die reelle Zahl „am Ende“ der Menge A der rationalen Zahlen durch eine Vielzahl anderer reeller Zahlen ergänzt, die ich in Bezug auf die Menge A nicht ganz beschreiben kann. Wie gesagt, reelle Zahlen sind komplizierte Bestien: die meisten von ihnen können trotz ihrer angeblichen „Realität“ nicht einmal beschrieben werden.
Ich bin und spreche auf einen grundlegenden Unterschied zwischen rationalen Zahlen und Real an Zahlen, die wirklich einen Abschluss in Mathematik erfordern, um richtig zu verstehen, aber ich hoffe, Sie haben zumindest einen Eindruck von dem Unterschied, wenn nicht eine vollständige Einschätzung der Feinheiten.
Antwort
Reelle Zahlen sind Zahlen zwischen den rationalen Zahlen . Was bedeutet diese Aussage wirklich?
Betrachten Sie die Quadratwurzel von 2. Es kann gezeigt werden, dass sie nicht rational ist. Aber wir können herausfinden, welchen Wert es bis zu einem gewissen Grad an Genauigkeit hat, indem wir alle Rationalen identifizieren, die niedriger als es sind, und alle Rationalen, die höher als es sind. Es liegt zwischen zwei Sätzen rationaler Zahlen.
Dies gilt für jede reelle Zahl – es sei denn, es ist auch rational. Für jede reelle Zahl gibt es eine Menge rationaler Zahlen, die alle kleiner oder gleich sind, und eine andere Menge rationaler Zahlen, die alle größer oder gleich sind, und jede rationale Zahl befindet sich in der einen oder anderen dieser beiden Mengen . Diese Art der Aufteilung der Rationalen ist der Schlüssel zur Konstruktion der reellen Zahlen aus den Rationalen mittels Dedekind-Schnitten.
Betrachten Sie zwei Sätze rationaler Zahlen, L (niedriger) und H (höher), so dass Jede Zahl in H ist höher als jede Zahl in L, und die beiden Sätze zusammen enthalten jede rationale Zahl. Wir wissen, dass solche Mengen L und H für jede reelle Zahl existieren, die wir algebraisch berechnen können, aber dies sind nicht die einzigen solchen Mengen.
Im Allgemeinen kann L eine höchste Zahl haben, Lmax ,, oder H. könnte eine niedrigste Zahl Hmin haben. In diesen Fällen wäre Lmax oder Hmin die Obergrenze von L und die Untergrenze von H, und es wäre rational. Wenn weder Lmax noch Hmin existieren – und wir wissen, dass dies nicht der Fall ist, wenn wir die Mengen aus einer bekannten irrationalen Zahl erstellt haben – definieren wir die Obergrenze von L (die auch die Untergrenze von H ist) als reelle Zahl. P. >
Tatsächlich erstellen wir jedes Mal, wenn wir eine irrationale Zahl durch einen Dezimalbruch approximieren, eine solche Partition. Wenn wir beispielsweise sagen, dass eine irrationale Zahl 1,2345 ist, sagen wir, dass sie größer als 1,2345, aber kleiner als 1 ist.2346, und wenn wir mehr Zahlen in die Dezimalerweiterung schreiben, fügen wir den Mengen mehr Zahlen hinzu, die größer und kleiner als sind.
Mit diesen Dezimalerweiterungen können wir einen wichtigen Unterschied zwischen den rationalen Zahlen und der ableiten reale Nummern. Die rationalen Zahlen sind zählbar ; Das heißt, sie können in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den ganzen Zahlen gestellt werden. Die reellen Zahlen können nicht gezählt werden.
Was ist der Unterschied zwischen reellen und rationalen Zahlen?