Was ist die Basis in Mathematik?


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Zahlensystembasen

Zahlensysteme haben eine Basis wie die common decimal Basis 10 oder binär Basis 2 , die in Computern verwendet wird. Die Basis der natürlichen Logarithmus \ ln (x) ist die Nummer e ^ {1}, Dies ist eine irrationale Zahl und wäre ein verwirrendes Zahlensystem.

1010\_ {2} = 12\_ {8} = 10\_ {10} ist die Zahl 10 in binär, oktal und dezimal .

Exponenten und Logarithmen

Die Basis eines Zahlensystems verwendet Exponenten und ihre inversen Funktionen Logarithmen zum Erstellen der Ziffernpositionen .

Die erweiterte Zahl 10 in binär, oktal und decimal unten zeigt, wie die Basisnummer und Exponent Ziffernpositionen erstellen in jedem System eine Zahl.

Die Ziffernpositionen . Beginnen Sie bei Null auf der rechten Seite bis zur höchste verwendete Ziffer . Ein Logarithmus zur Basis \ log\_ {base} (x) gibt die Position zurück.

  • \ log (b ^ {0) }) = 1 für jede Basis-B-Ziffernposition 1
  • \ log\_ {2} (2 ^ {8}) = 3 bedeutet, dass es sich um die Ziffernposition 3 + 1 = 4
  • \ handelt log\_ {8} (8 ^ {2}) = 2 bedeutet, dass es sich um die Ziffernposition 2 + 1 = 3 handelt.
  • \ log\_ {10} (10 ^ {1}) = 1 bedeutet, dass es sich um die Ziffernposition 1 handelt + 1 = 2

Erweiterte Zahlen in Binär, Oktal und Dezimal

1010\_ {2} = 1 \ mal 2 ^ {3} + 0 \ mal 2 ^ {2} + 1 \ mal 2 ^ {1} + 0 \ mal 2 ^ {0} = 1 \ mal 8 + 1 \ mal 2 = 10\_ {10}

12\_ {8} = 1 \ mal 8 ^ {1} + 2 \ mal 8 ^ {0} = 1 \ mal 8 + 2 \ mal 1 = 10\_ {10}

10\_ {10} = 1 \ mal 10 ^ {1} + 0 \ times 10 ^ {0}

Antwort

Zwei Antworten mit unterschiedlichen Bedeutungen. Erstens ist das sogenannte „Zahlensystem“ manchmal nur eine Möglichkeit, Zahlen innerhalb des reellen Zahlensystems unter Verwendung von Zahlenfolgen darzustellen, die die Anzahl der Kopien der Basis darstellen, die auf unterschiedliche Potenzen angehoben wurden. Zum Beispiel repräsentiert der Ausdruck 1, 075 im Basis-10-Zahlensystem genau das, was wir gewohnt sind: in Worten eintausendfünfundsiebzig. 5 steht an der Stelle von 1s, was bedeutet, dass es 5 x 10 ^ 0 darstellt, wobei 10 ^ 0 = 1. Die 7 steht an der Stelle von 10s, was „add in 7 x 10 ^ 1“ bedeutet, wobei 7 x 10 ^ 1 = 70 Es gibt eine Null an der 10 ^ 2-Stelle, was „addiere 0 x 10 ^ 2“ bedeutet, wobei 10 ^ 2 = 100. Als nächstes bedeutet eine 1 an der 10 ^ 3-Stelle „addiere 1 x 10 ^ 3“. , wobei 1 x 10 ^ 3 = 1000.

Jetzt können Sie beispielsweise zu Oktal oder Basis-8 wechseln. 1, 075 in Basis 8 ist also 5 x 8 ^ 0 + 7 x 8 ^ 1 + 0 x 8 ^ 2 + 1 x 8 ^ 3. In Basis 10 ist dies = 40 + 56 + 512 = 608. Digitale Computer haben traditionell Basis 2 oder „binär“ verwendet. Viel Spaß.

Die andere Bedeutung von „Basis“ ist völlig anders und tiefer. In einem Kurs in elementarer Punktmengen-Topologie lernen Sie, dass eine Topologie eine Basis hat, eine Klasse von Mengen, aus der alle offenen Mengen in der Topologie durch Bilden von Vereinigungen der Basismengen erhalten werden können. Eine Unterbasis ist noch mehr… ähm… grundlegend (sorry). Eine Unterbasis für eine Topologie ist eine Klasse von Mengen, aus der alle offenen Mengen als Vereinigungen endlicher Schnittpunkte der Unterbasismengen erhalten werden können.

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