Beste Antwort
Zunächst \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
Nun werde ich die Quadratwurzelfunktion durch ihre Taylor-Reihe darstellen. Ich werde diese Taylor-Serie auf ungefähr 16 berechnen, um vor störenden Konvergenzradien sicher zu sein. Dann werde ich \ sqrt {20} approximieren, indem ich x = 20 in der Reihe setze.
Die Definition der Taylor-Reihe für jede beliebige Funktion f \ left (x \ right) lautet wie folgt:
f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
Hier bezeichnet f ^ {\ left (n \ right)} die n-te Ableitung von f. Wir müssen viele Ableitungen berechnen und hoffentlich gibt es ein etwas leicht erkennbares Muster.
f \ left (x \ right) wird im Folgenden \ sqrt {x} bezeichnen.
Die „nullte“ Ableitung von f ist einfach f. Ich habe f \ left (16 \ right) als Koeffizienten des ersten Terms in der Reihe. (Denken Sie daran, ich habe beschlossen, die Taylor-Serie um 16 zu zentrieren. . Die Quadratwurzel von 16 ist einfach genug – es ist nur 4 . Vier Viere sind 16.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
Okay. Die Dinge werden ein wenig herausfordernd. Wir müssen jetzt die Ableitung von \ sqrt {x} berechnen.
Die Potenzregel besagt, dass \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. In diesem Fall ist n = \ frac {1} {2} (vorausgesetzt, \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}).
Daher \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Der nächste Koeffizient der Reihe ist daher \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} oder einfach \ frac {1} {8}.
Der nächste Term in der Taylor-Reihe ist daher f „\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} oder einfach \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
Hier ist die bisherige Teilsumme:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ) ^ 0} {0!} + \ Frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ Cdots
Okay. Wir müssen die zweite Ableitung von f \ left (x \ right) berechnen oder einfach die Ableitung von \ frac {1} {2 \ sqrt {x berechnen }}.
Dies erfordert die Verwendung der Kettenregel, da eine Funktion in einer anderen zusammengesetzt ist. Eine Funktion wird im Folgenden mit g \ left (x \ right) = \ frac {1} {bezeichnet x}, und der andere wird im Folgenden mit h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x} bezeichnet. Die Funktion, deren Ableitung wir finden wollen, ist: f „\ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Mit anderen Worten, wir wollen die Ableitung von g \ left (h \ left (x \ right) \ right) finden.
Die Kettenregel besagt, dass \ frac {\ text {d}} {\ Text {d} x} g \ links (h \ links (x \ rechts) \ rechts) = g „\ links (h \ links (x \ rechts) \ rechts) h“ \ links (x \ rechts).
Die Ableitung von g \ left (x \ right) ist – \ frac {1} {x ^ 2} (nach der Potenzregel). Die Ableitung von h \ left (x \ right) ist \ frac {1} {\ sqrt {x}} (gemäß der Potenzregel und der Eigenschaft, die \ left impliziert (vgl. \ Left (x \ right) \ right) “ = cf „\ left (x \ right)).
Jetzt haben wir das \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} = – \ frac {1} {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3}. Der dritte Koeffizient in der Reihe ist daher – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (oder einfacher – \ frac {1} {256}).
Der dritte Term in der Reihe lautet: – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
Die gesamte bisherige Teilsumme:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left ( x-16 \ rechts) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ links (x-16 \ rechts) ^ 2} {2!} + \ cdots
Ich werde nun die vierte Ableitung von f \ left (x \ right) berechnen.
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
Der vierte Term in der Sequenz ist \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
Die Summe hat jetzt vier Terme:
f \ left ( x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} { 1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ rechts) ^ 3} {3!} + \ cdots
Wenn wir mit diesem Muster fortfahren, erhalten wir das folgende Koeffizientenmuster:
\ frac {1} {0,25 }, \ frac {1} {8 }, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots
Jetzt ist es an der Zeit, ein Muster zu finden und das auszudrücken Sequenz mit einer expliziten Formel.
Der n-te Nenner kann durch b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right) dargestellt werden, was vereinfacht bis b\_n = 2 ^ {5n-2} (mit dem Anfangswert von n als 0). Das war einfach. Wie wäre es mit den Zählern?
Hier ist die Reihe von Zählern (ohne Berücksichtigung der Vorzeichenänderung, die später behandelt wird):
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
Hmm…
…
Das Muster der Zähler ist ziemlich einfach. Nehmen Sie 945 und teilen Sie es durch 105. Sie erhalten 9. Als nächstes nehmen Sie 105 und teilen das durch 15. Sie erhalten 7. Weiter: 15 geteilt durch 3 ist 5, 3 geteilt durch 1 ist 3 und 1 geteilt durch 1 ist 1. Hierbei handelt es sich um Produkte mit ungeraden Zahlen.
Der \ left (n + 2 \ right) -te Term in der Folge von Zählern (ohne Wechsel) lautet daher:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right)
Die Formel für die Zähler hat die Form einer Pi-Notation. Es wäre besser, wenn es irgendwie mit der Fakultätsnotation ausgedrückt wird.
Wenn wir das Produkt der ersten 2n + 2 Ganzzahlen durch das Produkt der geraden Ganzzahlen von 2 bis 2n dividieren, erhalten wir die Produkt der ungeraden ganzen Zahlen von 1 bis 2n + 1. Mit anderen Worten,
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
Jetzt können wir die Pi-Notation entfernen und durch einen kleineren, eleganteren Ausdruck ersetzen. Wie Sie sehen können, wird die 2 im Term n + 1 mal mit sich selbst multipliziert. Also können wir die 2 herausziehen, sie vor die Hauptstadt pi stellen und dann die 2 auf die Potenz von n + 1 erhöhen. Das lässt uns mit:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
Die obige Gleichung kann einfacher geschrieben werden als:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}
Möglicherweise haben Sie bereits bemerkt, dass die durch den Ausdruck direkt oben angegebene Reihe um zwei Begriffe verschoben ist. Um dieses Problem zu beheben, müssen wir nur alle n in der Nennerformel finden und um 2 addieren. Dasselbe müssen wir auch mit den übrigen Begriffen mit Potenzen von x tun.
Die Nennerformel lautet schließlich 2 ^ {5n + 8}.
Da wir die Reihe verschoben haben, müssen wir noch diejenigen, die ausgeschlossen wurden, irgendwo in den Ausdruck aufnehmen. Es gibt andere Begriffe, die vor der Sigma-Notation im Ausdruck erscheinen. Diese Terme sind 4 und \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right).
Der Koeffizient jedes Terms in der Reihe lautet:
c\_n = \ frac {\ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}} {2 ^ {5n + 8}}
vereinfacht sich bis zu:
c\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!}
Das ist die Formel für den n-ten Koeffizienten für die Reihe (dies schloss die ersten beiden Terme aus, da diese Terme Fehler in der Formel für t\_n verursachen würden).
Wir können jetzt mit dem Schreiben beginnen die Sigma-Notation (denken Sie daran, wir haben die Serie verschoben, um die frechen Begriffe herauszunehmen, sodass einige Dinge an der Vorderseite der Sigma-Notation stehen).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right)
– \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} – \ cdots
Es handelt sich um eine alternierende Reihe, die mit einem Negativ beginnt. Wir müssen also die Terme mit der (n + 1) -ten Potenz von -1 multiplizieren.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ rechts) + \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ in fty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1} \ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!}
Aufgeräumt:
f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ left (n + 1 \ right)!}
HA!
Wir haben jetzt die Taylor-Reihe für diese sogenannte „Quadratwurzel“ -Funktion, die auf Taschenrechnern definitiv keine Rolle spielt. Jetzt müssen Sie nur noch die Quadratwurzel von zwanzig mit der Taylor-Reihe approximieren, die wir gerade herausgefunden haben.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (20-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right) )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Left (n + 1 \ right)!}
Vereinfacht:
f \ left (20 \ right) = \ sqrt {20} = 4.5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {4n + 1 } \ left (n + 1 \ right) \ left (n! \ right) ^ 2}
Ich habe den obigen Ausdruck in Desmos eingegeben und \ infty durch 15 ersetzt. Desmos hat die Summe ausgewertet. Die Quadratwurzel von zwanzig ist also ungefähr 4.472135955.
Ich habe diese Antwort ausführlich behandelt, weil sie sonst langweilig genug wäre.
Jeder, der das Internet nutzen kann, hat Zugriff auf sogar die wissenschaftlichster Rechner. Die Quadratwurzelfunktion steht Ihnen immer rund um die Uhr zur Verfügung. Dank dieser Tatsache werde ich meine Antwort überprüfen.
4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
Danke fürs Lesen.
Antwort
Nun, versuchen wir es mit ohne Taschenrechner .
Suchen Sie die Zahl, deren Quadrat knapp unter 20 liegt, es ist 4.
Suchen Sie eine Zahl, deren Quadrat knapp über 20 liegt ist es 5.
Also, 4 qrt (20)
Berechnen Sie einmal den Mittelwert dieser beiden Zahlen, der 4,5
Wir haben also √20 ,5
Also 4 qrt (20) ,5
Berechne 4,5 Quadrat… 4 * 5 + .25 = 20.25…
Es ist nur ein bisschen hoch…
Die Antwort sollte also bei 4,5 liegen, nur nicht in der Nähe von 4 .
Versuchen wir nun, es korrekter zu finden.
Nehmen Sie f (x) = sqrt (x)
f „(x) = o.5 / sqrt (x)
Nun ist f (20.25) = 4.5, f (20) =?
Nehmen Sie ∆x = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f „(x)
(Taylors Reihe auf erste Ordnung abgeschnitten, oder Sie können Newton anrufen Raphson-Methode)
Wenn wir nun x und ∆x einsetzen, haben wir
f (20) = 4,5 – 0,25 * 0,5 (1 / 4,5)
= 4,5 – (1/4) (1/9) = 4,5 – .1111 / 4
= 4,5 – 10 ^ (- 4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4,5 – 10 ^ – (4) [250 + 25 + 2,5 + 0,25]
= 4,5 – 0,027775
= 4,472225
Daher sqrt (20) ~ 4.472225
Und das hat Google als Antwort angeboten.
Unsere Antwort ist also nicht so schlecht !!