Beste Antwort
Aus theoretischer Sicht ist ein Zufallsfeld eine Familie von Zufallsvariablen, die durch eine Mannigfaltigkeit indiziert werden.
Lassen Sie mich erklären:
Ein stochastischer Prozess ist eine Familie von Zufallsvariablen \ {X (t) \} \_ {t \ in T}, wobei für jedes t X (t) ist eine Zufallsvariable, und t variiert in der Menge T, die als Indexmenge bezeichnet wird. Theoretisch schränkt die Definition die Indexmenge T nicht ein, sondern kann eine beliebige Menge sein. Wenn wir jedoch stochastischen Prozess sagen, denken wir 99\% der Zeit tatsächlich an t als die Zeit, daher muss T die reale Linie oder die Menge von ganzen Zahlen oder ein Teil davon sein.
Wenn dies der Fall ist Nicht der Fall, meistens, wenn T tatsächlich ein höherdimensionaler euklidischer Raum oder ein Teil davon oder so etwas (eine „Mannigfaltigkeit“) ist, dann ist \ {X (t) \} \_ {t \ in T} ein zufälliges Feld genannt. Die Idee ist, dass wir den Index, da er nicht mehr eindimensional ist, nicht als Zeit betrachten können, also als Raum. Als Ergebnis erhalten wir keinen „Prozess“, sondern ein „Feld“. Wir erhalten also eine zufällige Oberfläche oder eine zufällige multivariate Funktion.
Antwort
Eine Zufallsvariable ist definiert als messbar Funktion
X: \ Omega \ mapsto \ R
Wobei \ Omega ein Wahrscheinlichkeitsraum – Wikipedia .
Machen Sie sich nicht so viele Sorgen um den „messbaren“ Teil. Der wichtigste Punkt, den ich hier ansprechen möchte, ist, dass insbesondere in Mathematik und Physik eine Art Äquivalenz zwischen Funktionen und Variablen besteht
Eine häufig verwendete Form der Kettenregel aus Calculus lautet beispielsweise:
\ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ frac { du} {dx}
Dies ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn y implizit eine Funktion von u und u ist implizit eine Funktion von x. Auf der linken Seite repräsentiert y tatsächlich (und implizit) die zusammengesetzte Funktion y = y (u (x)).
Sie sehen diese Art der Notation von Funktion als Variable auch immer in Differentialgleichungen. Wenn zum Beispiel jemand eine Differentialgleichung wie
y „= y
schreibt, hat einfach verstanden, dass y ist eine Funktion in einer nicht spezifizierten Domäne, dh y = y (x), und dass y „die Funktion \ frac {dy} {dx} und das = darstellt Vorzeichen bedeutet Gleichheit der Funktionen. Das „eine Menge Setup in diese Notation eingebaut!
Ich erwähne dies, weil Zufallsvariablen genau funktionieren Wir schreiben X, aber dieses Symbol bezieht sich auf eine -Funktion X (\ omega). Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, deren Domäne ein Wahrscheinlichkeitsraum ist. Der Wahrscheinlichkeitsraum ist in der Notation fast nie explizit, muss jedoch im Kontext definiert werden.
Warum er „zufällig“ genannt wird, ist genau das Wort, das wir für Dinge verwenden, die hängen von einem Wahrscheinlichkeitsraum ab. Wenn ich „Zähle 1 für Köpfe, -1 für Schwänze“ sage, habe ich sowohl einen Wahrscheinlichkeitsraum \ Omega = \ {Köpfe, Schwänze \} definiert (vermutlich mit dem gleichmäßige Verteilung) und eine Zufallsvariable X (Köpfe) = 1, X (Schwänze) = – 1. Das Symbol X bezeichnet keine reelle Zahl, sondern eine Funktion mit einer „zufälligen“ Domäne, wobei „zufällig“ lose als „mit bekannter Ergebnisverteilung“ definiert werden kann.