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Der Begriff „Punktmenge“ hat meines Wissens keine mathematische Standarddefinition. Der Ausdruck „Sei X eine Punktmenge“ ist bedeutungslos. In der „Punktmengen-Topologie“ ist der Ausdruck „Punktmengen“ ein Adjektiv, das „Topologie“ modifiziert, im Gegensatz zu „algebraischer Topologie“ oder „Differentialtopologie“.
- Die Punktmengen-Topologie untersucht potenziell pathologische topologische Räume unter einem im Wesentlichen satztheoretischen Gesichtspunkt.
- Die algebraische Topologie verwendet die homologische Algebra, um entsprechend schöne kontinuierliche Räume zu analysieren.
- Die Differentialtopologie verwendet Kalkül, um glatte Räume zu untersuchen.
Der Modifikator „Punktmenge“ für die Topologie zeigt daher an, dass Sie möglicherweise in einem Kontext arbeiten, in dem sich Ihre Räume befinden
Antwort
Eine Zeile kann als bestehend aus angesehen werden Punkte, aber ich bin nicht sicher, ob dies der beste Weg ist, darüber nachzudenken. Und ich bin mir ziemlich sicher, dass Sie vermeiden sollten, zu sagen, dass eine Linie aus Punkten besteht, da keiner grundlegender ist als der andere.
In axiomatischer Geometrie sind Linien und Punkte unterschiedliche grundlegende Einheiten. Zwei Linien schneiden sich an einem Punkt und es gibt eine strikte Reihenfolge unterschiedlicher Punkte auf einer bestimmten Linie. Ein interessantes Merkmal der projektiven Geometrie ist die Symmetrie zwischen Punkten und Linien: Zwischen ihnen besteht eine formale Dualität . Diese Aussage über zwei Linien, die sich an einem Punkt treffen, entspricht formal der doppelten Aussage – zwei Punkte definieren eine Linie. In der Doppelansicht besteht ein Punkt aus Linien.
Die Kardinalität der Punkte auf einer Linie hängt von den zulässigen Konstruktionen ab. Mit dem traditionellen „nicht markierten Lineal und Kompass“ gibt es nur eine zählbare Anzahl von Punkten, die wir auf einer Linie erreichen können. Wenn wir im Allgemeinen Grenzen für Punktfolgen zulassen, können wir jeden Punkt auf der reellen Zahlenlinie erreichen, der die unzählige Kardinalität des Kontinuums aufweist. Aber es gibt keinen besonderen Grund, hier anzuhalten: Wir können beispielsweise die surreale Zahlenlinie konstruieren, bei der verschiedene Punkte unendlich nahe beieinander liegen können und es unbestimmt viele davon gibt (mehr als unzählige!).