Beste Antwort
An Abhinav Rk: Sie haben diese Frage vor fast drei Jahren gestellt, also vielleicht auch Sie sind nicht mehr an einer Antwort interessiert. Ich bin jedoch der Meinung, dass Ihre Frage bei anderen Versuchen, sie zu beantworten, missverstanden wurde. Ich denke, Sie fragen nach der mathematischen Formel, die in Excel von der PMT-Funktion codiert wird, wenn es einen zukünftigen Wert ungleich Null FV gibt. Bei der Untersuchung Ihrer Frage konnte ich kein einziges Beispiel finden, in dem eine solche Berechnung durchgeführt wurde, geschweige denn eine Diskussion der dahinter stehenden Mathematik. Hier ist mein Versuch, das Problem zu verstehen, mit dem Haftungsausschluss, dass ich nur mit den einfachsten Darstellungen der Finanzmathematik vertraut bin und mich größtenteils auf Kapitel 8 des Lehrbuchs „Thinking Mathematically“ von Robert Blitzer, 7. Auflage, stütze. Pearson, 2019. Ich bin in keiner Weise Experte für Finanzmathematik.
Angenommen, wir beginnen mit der Formel zur Berechnung der periodischen Zahlung ( Einzahlung) auf ein Rentenkonto, das zum Erreichen einer Rente A erforderlich ist. Dies ist gegeben durch
\ begin {Gleichung} PMT \, = \, \ dfrac {A \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ rechts)} {\ links [\ links (1+ \ dfrac {r} {n} \ rechts) ^ {nt} – 1 \ rechts]}. \ tag {1} \ end {Gleichung}
wobei r der als Dezimalzahl ausgedrückte Zinssatz ist, n die Anzahl der Zahlungen pro Jahr ist (z. B. n = 12, wenn monatliche Zahlungen / Einzahlungen erfolgen gemacht), und t ist die Anzahl der Jahre, für die die Zahlung erfolgt. Als Referenz ist das Produkt n \ times t gleich der in Excel verwendeten Variablen „Nper“.
Wenn ein PV-Betrag für ein Darlehen geliehen wird, wird der zukünftige Wert des Darlehens unter diesen Bedingungen angegeben durch die Zinseszinsformel:
\ begin {Gleichung} FV\_0 \, = \, PV \, \ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt}. \ tag {2} \ end {Gleichung}
Normalerweise möchten Sie das Darlehen mit einer Zahlung zurückzahlen, die genau dem entspricht Einzahlung, die erforderlich wäre, um eine Annuität in Höhe dieses zukünftigen Werts zu erzielen, A = FV\_0. In diesem Fall würde der zukünftige Wert des Darlehens auf FV\_0 = reduziert 0 (Ich unterscheide diesen zukünftigen Wert durch einen 0-Index, der wahrscheinlich eher ungewohnt aussieht, aber ich denke, diese Notation macht die Mathematik verständlicher).
Wenn Sie jedoch eine Zahlung leisten möchten, die hinterlässt einen unbezahlten Teil des Darlehens, dh einen zukünftigen Wert ungleich Null FV des Darlehens müssen Sie dann Zahlungen für eine Annuität A einrichten, die den zukünftigen Wert auf FV = FV\_0 – A reduziert. Wenn Sie dies für A lösen, ist der in Gleichung (1) zu ersetzende Annuitätswert dann A = FV\_0 – FV, und die Zahlung erfolgt durch
\ begin {Gleichung} PMT \, = \, \ dfrac {(FV\_0 – FV) \, \ left (\ dfrac {r} { n} \ rechts)} {\ links [\ links (1+ \ dfrac {r} {n} \ rechts) ^ {nt} – 1 \ rechts]}. \ tag {3} \ end {Gleichung}
Ersetzt FV\_0 aus Gleichung (1) und kann wie folgt geschrieben werden:
\ begin {Gleichung} PMT \, = \, \ dfrac {(PV \ mal C \, – \, FV) \, \ left (\ dfrac {r} {n} \ right)} {C – 1}, \ tag {4} \ end {Gleichung}
wobei
\ begin {Gleichung} C \, = \, \ left (1+ \ dfrac {r} {n} \ right) ^ {nt} \ tag {5} \ end {Gleichung}
ist der Verbindungsfaktor.
In der Antwort von Abhinav Rk wird ein Beispielproblem mit dem Hauptwert PV = 30000, r = 6,5 \\% = 0,065, t angegeben = 5 Jahre und FV = -9000. Er fährt fort und bezieht sich auf die für dieses Beispiel erforderliche Zahlung, indem er fragt: „Wie berechne ich das manuell?“ Excel gibt ihm den Wert \ $ 459 als Lösung.
Für sein Beispiel finde ich für den Zusammensetzungsfaktor (beachten Sie, dass zur Verwendung der von mir abgeleiteten Formel der zukünftige Wert positiv angenommen werden muss: FV = 9000):
\ begin {Gleichung} C \, = \ , \ left (1+ \ dfrac {0.065} {12} \ right) ^ {12 \ times 5} = 1.382817, \ tag * {} \ end {Gleichung}
und wenn dies ersetzt wird Gleichung (4) Ich erhalte
\ begin {Gleichung} PM T \, = \, \ dfrac {(30000 \ mal 1,382817 – 9000) \, \ left (\ dfrac {0,064} {12} \ right)} {0,382817} = \ $ 459,64, \ tag * {} \ end {Gleichung }
in guter Übereinstimmung mit dem, was er mit Excel erhalten hat.
Vorausgesetzt, ich habe die Gleichungen richtig entwickelt, hoffe ich, dass dies für Sie oder andere, die an derselben Frage interessiert sind, hilfreich sein kann.
Antwort
Aus der offiziellen Excel 2016-Hilfe:
PMT-Funktion – Office-Support
Syntax
PMT (rate, nper, pv, [fv], [type])
Hinweis: Eine ausführlichere Beschreibung der Argumente in PMT finden Sie in der PV-Funktion.
Die PMT-Funktionssyntax hat die Folgende Argumente:
- Rate Erforderlich. Der Zinssatz für das Darlehen.
- Nper Erforderlich. Die Gesamtzahl der Zahlungen für das Darlehen.
- Pv Erforderlich.Der Barwert oder der Gesamtbetrag, den eine Reihe zukünftiger Zahlungen jetzt wert ist; wird auch als Principal bezeichnet.
- Fv Optional. Der zukünftige Wert oder ein Barguthaben, das Sie nach der letzten Zahlung erreichen möchten. Wenn fv weggelassen wird, wird angenommen, dass es 0 (Null) ist, dh der zukünftige Wert eines Kredits ist 0.
- Typ Optional. Die Zahl 0 (Null) oder 1 gibt an, wann Zahlungen fällig sind.
- Setzen Sie den Typ auf:
- 0 oder weggelassen Wenn Zahlungen fällig sind Am Ende des Zeitraums
- 1 If Zahlungen sind fällig Zu Beginn des Zeitraums
Mathematisch kann dies wie folgt implementiert werden:
pmt = Rate * (Fv * -1 + Pv * (1 + Rate) ^ Nper)) / ((1 + Rate * Type) * (1- (1 + Rate) ^ Nper)
Make Stellen Sie sicher, dass die Einheiten von Nper & Rates konsistent sind und der angemessene Zufluss / Abfluss von Bargeld berücksichtigt wird.
Nachfolgend finden Sie die einfachere Gleichung (ohne Fv & Typ) https://en.wikipedia.org/wiki/Equated\_monthly\_installment
PMT = (Pv * Rate * (1+ Rate) ^ Nper) / [(1 + Rate) ^ Nper – 1]